Suites numériques

Exercice 1

Soient $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Étudier la parité de $f * g$ lorsque $f$ et $g$ sont des fonctions paires, et lorsque l’une est paire et l’autre impaire.
Pour tout $\xi \in \mathbb{R}$, exprimer $\hat{f}(-\xi)$ en fonction de $\hat{f}(\xi)$. Si $f$ est paire, montrer que $\hat{f}(\xi) \in \mathbb{R}$ pour tout $\xi \in \mathbb{R}$. Que se passe-t-il si $f$ est impaire ?
Que deviennent les résultats précédents si $f$ est à valeur complexe ?

Corrigé

f,g : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

La parité de $f * g$ en fonction des parités de $f$ et $g$ ?

$\forall x \in \mathbb R f(-x) = \alpha f(x)$ et $\forall x \in \mathbb R g(-x)=\beta g(x)$

\[ avec \quad \alpha, \beta \in \{-1,1\}\] Alors,

\[(f * g)(-x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(-x - y) \, dy\]

\[= \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(-(x + y)) \, dy\] \[= \beta \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x + y) \, dy\]

Posons $y = -z$, alors $-dz = dy$ et lorsque $y \to -\infty$, $z \to +\infty$, et lorsque $y \to \infty$, $z \to -\infty$. Donc

\[(f * g)(-x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(-z) g(x-z) \, dz\]

\[(f * g)(-x) =\alpha \beta \int_{\mathbb R} f(z)g(x-z) \, dz\]

Donc, $(f * g)(-x) =\alpha \beta (f * g)(x)$.

Si $f$ et $g$ ont meme parité, alors $f * g$ est paire.

Si $f$ et $g$ ont des parités opposées, alors $f * g$ est impaire.

$f \in L^1( \mathbb R )$, $\xi \in \mathbb R$.

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(x) e^{-ix(-\xi)}\,dx \]

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(x) e^{ix\xi}\,dx \] Prendre x= -y,

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(-y) e^{-iy\xi}\,dy \]

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\ f(-y)\ \overline {e^{-iy\xi}}\,dy \] Car $f(x) \in \mathbb R$ donc $f(x) = \overline{f(x)}$

\[\hat{f}(-\xi) = \overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} \ f(-y)\ e^{-iy\xi}\,dy} \ = \ \hat{f(\xi)} \] Si $f$ est paire, (*) donne

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(x) e^{-ix\xi}\,dx \ = \ \hat{f(\xi})\]

Donc $\hat f$ est paire et $ = f()$

d’ou $\hat f(\xi) \in \mathbb R .$

Si $f$ est paire, (*) donne

\[\hat{f}(-\xi) = -\ \hat{f(\xi})\]

Donc $\hat f$ est impaire et $ () = - f() $

d’ou $\hat f(\xi) \in i \mathbb R .$

Si $f: \mathbb R \to \mathbb C$, $f \in L^1(\mathbb R)$.

\[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(-y) e^{-iy\xi}\,dy\] \[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(x) \overline{e^{-ix\xi}}\,dx\] \[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\ ( \overline{\overline{f(x)} e^{-ix\xi}})\,dx\] \[\hat{f}(-\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\overline{ f(x)} \ e^{-ix\xi}\,dx \ = \ \overline{\hat{\overline{f}}(\xi)}\] On a pour tout $\xi \in \mathbb R$.

\[ \hat{\overline{f}}(\xi) = \overline{\hat{f}}(\xi)\] Si $f$ paire, $(*)$ donne, $\hat{\overline{f}} = \overline{\hat{f}}$

Si $f$ impaire, $(*)$ donne, $-\hat{\overline{f}} = \overline{\hat{f}}$

Exercice 2

Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par

\[ g(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } |x| > 1 \\ 1 + x & \text{si } -1 \leq x < 0 \\ 1 - x & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \end{cases} \]

Calculer $\hat{g}$ et en déduire $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$ et $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^4 t}{t^4} \, dt$.

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Exercice 3

Transformée de Fourier de la Gaussienne

Pour $\sigma > 0$, on note $g_\sigma(x) = \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$. Le but est de calculer $\hat{g}_\sigma$.

Montrer que $\hat{g}_\sigma$ est dérivable et exprimer $\hat{g}_\sigma'(\xi)$ en fonction de $\hat{g}_\sigma(\xi)$ (Utiliser une IPP).
En déduire $\hat{g}_\sigma(\xi)$ pour tout $\xi \in \mathbb{R}$. Que peut-on dire de $\hat{g}_1$ ?

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Exercice 4

Soient $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ définies par $f(x) = e^{-|x|}$ et $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

Calculer $\hat{f}$.
Justifier que $f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{ixs}}{1 + s^2} \, ds$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. En déduire $\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos t}{1 + t^2} \, dt$ et $\hat{g}(\xi)$ pour tout $\xi \in \mathbb{R}$.
Calculer $f * f$ et en déduire la transformée de Fourier de $h(x) = \frac{1}{(1+x^2)^2}$.
En utilisant les propriétés de dérivation, calculer la transformée de Fourier de $k(x) = \frac{x}{(1+x^2)^2}$.

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Exercice 5

Formule de réciprocité

Soient $f, g \in L^1(\mathbb{R})$. Montrer que $f\hat{g} \in L^1(\mathbb{R})$ et $ g L^1()$, et que

\[ \int_{\mathbb{R}} f\hat{g} \, d\lambda_1 = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}g \, d\lambda_1. \]

Corrigé

Exercice 6

Pour tout $a > 0$, on note $f_a = 1_{[-a,a]}$. Calculer $\hat{f_a}$ et en déduire $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$.

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Exercice 7

Soit $f \in L^1(\mathbb{R})$.

Pour tout $s > 0$, on note $f_s$ la fonction définie par $f_s(x) = \frac{1}{s}f\left(\frac{x}{s}\right)$. Montrer que $f_s \in L^1(\mathbb{R})$ et exprimer $\hat{f_s}$ en fonction de $\hat{f}$.
Pour tout $y \in \mathbb{R}$, exprimer $\hat{\tau_y f}$ en fonction de $\hat{f}$.

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Exercice 8

Extrait d’un sujet d’examen

Soit $f = 1_{[-\pi/2, \pi/2]}$, et soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par

\[ g(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } |x| > \frac{\pi}{2} \\ \cos x & \text{si } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \end{cases} \]

Calculer les transformées de Fourier $\hat{f}$ et $\hat{g}$.
Calculer $f * g$ et $\hat{f * g}$.
Justifier que les intégrales suivantes sont bien définies et les calculer en utilisant ce qui précède.

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$.
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t(\pi^2 - t^2)} \, dt$.

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Exercice 9

Extrait d’un sujet d’examen

Soient $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ définies par $f(x) = xe^{-|x|}$ et $g(x) = \frac{x}{(1+x^2)^2}$.

Calculer $\hat{f}$.
Justifier que $f(x) = -\frac{2i}{\pi} \int_{\mathbb{R}} \frac{se^{ixs}}{(1 + s^2)^2} \, ds$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. En déduire $\int_{\mathbb{R}} \frac{t \sin t}{(1 + t^2)^2} \, dt$ et $\hat{g}(\xi)$ pour tout $\xi \in \mathbb{R}$.

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