Espace L^P

Espaces $L^P$

L’idée est d’étendre les définitions des différentes normes rencontrées dans les espaces de dimension finie.

Les semi-normes $\|.\|_p$

On prend $f$: $X \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable et $a \in \mathbb{R}$ un majorant de $f$ si $f(x)\leq a$ pour tout $x \in X$, i.e. $\{f > a\} = f^{-1}(]a, +\infty[) = \emptyset$.

C’est-à-dire $\mu(\{f > a\}) = \mu(f^{-1}(]a, +\infty[)) = \emptyset$.

Définition : Soit $p \in [1, +\infty[$. Si $f$: $X \to \mathbb{K}$ est mesurable, on note

\[ \|f\|_p := \left(\int_{X} |f|^p d\mu \right)^{\frac{1}{p}} \in \mathbb{R}_{+} \cup \{+\infty\}. \]

Énoncé

Inégalités de Young. Soient $a, b \in \mathbb{R}^+$ et $p, q \in ]1, +\infty[$ deux exposants conjugués. Alors

\[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}. \]

Corrigé

La fonction exponentielle $ t e^t $ est convexe de $ $ dans $ $. On a donc, pour tout $ t_1, t_2 $ et tout $ t [0, 1] $,

\[ e^{t t_1 + (1-t) t_2} \leq t e^{t_1} + (1-t) e^{t_2}. \]

Soit $a, b > 0$ (les autres cas sont triviaux). On prend $t = \frac{1}{p}$ (de sorte que $1 - t = \frac{1}{q}$), $t_1 = p \ln(a)$ et $t_2 = q \ln(b)$. On obtient bien

\[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}. \]

Énoncé

Inégalité de Hölder. Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $p, q \in [1, +\infty]$ des exposants conjugués. Si $f \in L_p(X, \mathbb{K})$ et $g \in L_q(X, \mathbb{K})$, alors $fg \in L_1(X, \mathbb{K})$ et

\[ \|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q. \]

Corrigé

Le produit $fg$ est mesurable car $f$ et $g$ le sont. - Si $p = 1$ et $q = +\infty$, alors

\[ \int_X \|f(x) g(x)\| d\mu \leq \|g\|_\infty \int_X \|f\| d\mu = \|f\|_1 \|g\|_\infty \]

et l’inégalité est vérifiée. - Si $p \in ]1, +\infty[$, alors l’inégalité de Young donne

\[ \|f(x) g(x)\| \leq \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q} \]

pour tout $x \in X$. Les propriétés de l’intégrale permettent d’écrire :

\[ \int_X \|fg\| d\mu \leq \frac{1}{p} \int_X \|f\|^p d\mu + \frac{1}{q} \int_X \|g\|^q d\mu < +\infty. \]

Donc, $fg \in L_1(X)$.

Pour montrer l’inégalité, on distingue maintenant 3 cas :

Cas 1. $\|f\|_p = 0$ ou $\|g\|_q = 0$. On a alors $f = 0$ ou $g = 0$. On en déduit $fg = 0$, donc $\|fg\|_1 = 0$ et l’inégalité est vérifiée.
Cas 2. $\|f\|_p = 1$ et $\|g\|_q = 1$. On a alors :

\[ \|fg\|_1 = \int_X \|fg\| d\mu \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 = \|f\|_p \|g\|_q. \]

L’inégalité est donc vraie.

Cas 3. $\|f\|_p > 0$ et $\|g\|_q > 0$. On pose alors $f_1 = \frac{f}{\|f\|_p}$ et $g_1 = \frac{g}{\|g\|_q}$, de sorte que $\|f_1\|_p = \|g_1\|_q = 1$.

Le Cas 2 donne alors

\[ \frac{\|fg\|_1}{\|f\|_p \|g\|_q} = \|f_1 g_1\|_1 \leq 1. \]

Ce qui démontre l’inégalité.

Exercice 1

Soient $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré, et $p, q, r \in [1, +\infty]$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$.

Si $f \in L^p(X, \mu)$ et $g \in L^q(X, \mu)$, montrer qu’on a $fg \in L^r(X, \mu)$ et $\|fg\|_r \leq \|f\|_p \|g\|_q$.

Corrigé

Exercice 2

Inclusions entre espaces $L^p$

Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré tel que $\mu(X) < +\infty$. Si $p, q \in [1, +\infty]$ vérifient $p < q$, montrer que $L^q(X, \mu) \subset L^p(X, \mu)$.
On considère $\mathbb{N}$ muni de la mesure de comptage. Si $p, q \in [1, +\infty]$ vérifient $p < q$, montrer que $\ell^p \subset \ell^q$.
On considère $\mathbb{R}$ muni de la mesure de Lebesgue et $p, q \in [1, +\infty]$ tels que $p < q$. Donner un exemple de fonctions $f \in L^p(\mathbb{R})$ telle que $f \notin L^q(\mathbb{R})$, et un exemple de fonction $g \in L^q(\mathbb{R})$ telle que $g \notin L^p(\mathbb{R})$.

Corrigé

Exercice 3

On considère $\mathbb{R}$ muni de la mesure de Lebesgue $\lambda_1$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $f_n(x) = e^{-n|x|}$. Montrer que $f_n \in L^p(\mathbb{R})$ pour tout $p \in [1, +\infty]$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer $\|f_n\|_p$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $g_n(x) = \frac{1}{(n + |x|)^2}$. Montrer que $g_n \in L^p(\mathbb{R})$ pour tout $p \in [1, +\infty]$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer $\|g_n\|_p$.
On considère les normes $\|.\|_1$ et $\|.\|_2$ sur $E = L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$. Ces deux normes sont équivalentes sur $E$ s’il existe $0 < a < b$ tels que $a\|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq b\|f\|_1$ pour tout $f \in E$. Montrer que $\|.\|_1$ et $\|.\|_2$ ne sont pas équivalentes sur $E$.

Corrigé

Exercice 4

Soit $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y > 0 \text{ et } 1 < x^2 + y^2 < 4\}$. Calculer $\int_D \frac{xy}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$.
Soit $B \subset \mathbb{R}^3$ la boule unité, et $a > 1$. Calculer $\int_B \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - a)^2}} \, dx \, dy \, dz$.

Corrigé

Exercice 5

Soient $a, b > 1$ et $D$ l’ouvert de $\mathbb{R}^2$ contenant le point $(1, 1)$ et délimité par les droites d’équation $y = ax$ et $y = \frac{x}{a}$, et par les hyperboles d’équation $y = \frac{b}{x}$ et $y = \frac{1}{bx}$.

Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, on note $u = xy$ et $v = \frac{x}{y}$. Montrer que $(x, y) \in D \iff (u, v) \in \left] \frac{1}{b}, b \right[ \times \left] \frac{1}{a}, a \right[$ et calculer $\lambda_2(D)$ en faisant un changement de variables.

Corrigé

Exercice 6

La fonction Bêta d’Euler

On considère la fonction $B : \mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}$ définie par $B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1 - t)^{y-1} \, dt$.

Montrer que la fonction $B$ est bien définie et que $B(x, y) = B(y, x) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta \, d\theta$.
Soit $U = \mathbb{R}^*_+ \times ]0, 1[$ et $F : U \to \mathbb{R}^2$ définie par $F(u, v) = (uv, u(1 - v))$.
- Montrer que $F$ est un difféomorphisme de $U$ sur $V = (\mathbb{R}^*_+)^2$.
- Pour $x, y \in \mathbb{R}^*_+$, soit $I(x, y) = \int_{(\mathbb{R}^*_+)^2} s^{x-1} t^{y-1} e^{-(s+t)} \, ds \, dt$. Calculer $I(x, y)$ en utilisant le changement de variable $(s, t) = F(u, v)$ et en déduire que $B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$.
Calculer $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. En déduire $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ et $\Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Corrigé

Exercice 7

Soit $f = 1_{[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]}$.

Calculer $f * f$ et $f * f * f$.
On note $f^{*n} = f^{*(n-1)} * f$ avec $f^{*1} = f$ et $n \geq 2$. Vérifier que pour tout $n \geq 1$, $f^{*n} \in L^1(\mathbb{R})$ et que $\|f^{*n}\|_1 = 1$.
Montrer que pour tout $n \geq 2$, $f^{*n}$ est de classe $C^{n-2}$.

Corrigé

Exercice 8

Soient $p \in [1, +\infty[$ et $q$ son exposant conjugué. Soient $f \in L^p(\mathbb{R}^n)$, $g \in L^q(\mathbb{R}^n)$ et $h = f * g$.

Montrer que $h(x)$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ et que $h$ est une fonction bornée sur $\mathbb{R}^n$.
Montrer que pour tout $x, u \in \mathbb{R}^n$, on a $h(x + u) - h(x) = (\tau_{-u} f - f) * g$ et en déduire que $h$ est continue sur $\mathbb{R}^n$.
Soient $A, B$ deux boréliens de $\mathbb{R}^n$ de mesures non nulles et finies. Calculer $\int_{\mathbb{R}^n} 1_A * 1_B \, d\lambda_n$ et en déduire que $1_A * 1_B$ est une fonction continue non nulle.

Corrigé

Exercice 9

Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ des nombres réels deux à deux distincts, et soit $\mu = \delta_{a1} + \cdots + \delta_{an}$, mesure sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

Soient $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ deux fonctions mesurables. À quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on $f = g \, \mu-\text{p.p.}$ ?
Montrer que pour tout $p, q \in [0, +\infty]$, on a $L^p(\mathbb{R}, \mu) = L^q(\mathbb{R}, \mu)$.
Montrer que $L^p(\mathbb{R}, \mu)$ est un espace vectoriel de dimension finie et en donner une base.

Corrigé

Exercice 10

Inégalité d’interpolation

Soient $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré, et $p, q, r \in [1, +\infty]$ tels que $p < r < q$.

Montrer qu’il existe un unique $a \in ]0, 1[$ tel que $\frac{1}{r} = \frac{a}{p} + \frac{1-a}{q}$.
Pour toute fonction mesurable $f : X \to \mathbb{C}$, montrer que $\|f\|_r \leq \|f\|_p^a \|f\|_q^{1-a}$. Que dit cette inégalité sur les espaces $L^p(X)$, $L^q(X)$ et $L^r(X)$ ?

Corrigé

Exercice 11

Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré pour lequel les parties de mesures non nulles ont une mesure uniformément minorée : $0 < \alpha = \inf\{\mu(A) \mid A \in \mathcal{A} \text{ et } \mu(A) > 0\}$.

Donner un exemple d’espace mesuré ayant cette propriété.
Soit $p \in [0, +\infty[$, et soit $f \in L^p(X)$.
- Soit $c < \|f\|_\infty$. Montrer qu’il existe une partie mesurable $E$ telle que $\mu(E) > 0$ et $|f(x)| \geq c$ pour tout $x \in E$. En déduire que $\int_X |f|^p \, d\mu \geq c^p \alpha$.
- Montrer que $\|f\|_\infty \leq \alpha^{-\frac{1}{p}} \|f\|_p$.
Soient $p, q \in [0, +\infty[$ tels que $p < q$. En utilisant ce qui précède, montrer que $\|f\|_q \leq \alpha^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} \|f\|_p$.
Que disent ces inégalités sur les inclusions entre espaces $L^p(X)$ et $L^q(X)$ ?

Corrigé

Exercice 12

Soit $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0 \text{ et } x^2 + y^2 < 1\}$. Calculer $\int_D \frac{1}{1 + x^2 + y^2} \, dx \, dy$.
Soit $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 0 < z < a \text{ et } x^2 + y^2 < a^2\}$. Calculer $\int_D \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx \, dy \, dz$.

Corrigé

Exercice 13

Soit $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x < y < 2x \text{ et } x < y^2 < 2x\}$. Calculer $\int_D \frac{y}{x} \, dx \, dy$ en utilisant le changement de variables $u = \frac{x}{y}$, $v = \frac{y^2}{x}$.

Corrigé

Nous utiliserons le changement de variables proposé pour transformer l’intégrale double en une intégrale plus simple à évaluer.

Exercice 14

Soient $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ deux fonctions paires. Montrer que $f * g$ est paire. Que peut-on dire si $f$ et $g$ sont impaires ? Si l’une est paire et l’autre impaire ?

Corrigé

Exercice 15

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$, bornées et de dérivées bornées. On suppose de plus que $f \in L^1(\mathbb{R})$ et $g' \in L^1(\mathbb{R})$. Montrer que $f * g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ et est une fonction de classe $C^2$.

Corrigé

Exercice 16

On rappelle que la fonction bêta d’Euler est définie par $B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1 - t)^{y-1} \, dt$ et vérifie $B(x, y) = B(y, x) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta \, d\theta = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}$.

Pour $a, b > 0$, on note $I_{a, b} = \int_D |x|^{a-1} |y|^{b-1} \, dx \, dy$, où $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1\}$ est le disque unité de $\mathbb{R}^2$.

En utilisant des coordonnées polaires, exprimer $I_{a, b}$ à l’aide de la fonction $\Gamma$.
Même question pour $J_{a, b, c} = \int_B |x|^{a-1} |y|^{b-1} |z|^{c-1} \, dx \, dy \, dz$, où $B$ est la boule unité de $\mathbb{R}^3$.

Corrigé

Espaces \(L^P\)

Les semi-normes \(\|.\|_p\)

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16