Suites numériques

Exercice 1

Étudier la convergence et déterminer la limite, lorsqu’elle existe, de la suite \(\{U_n\}\) définie par :

\[U_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n}\]

où \(a\) et \(b\) sont des réels tels que \(|a| \neq |b|\).

Corrigé

Comme \(|a| \neq |b|\), nous avons deux possibilités :

  • Si \(|a| \ > \ |b|\), alors

\[U_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} = \frac{a^n}{a^n} \left( \frac{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^n} \right) = \frac{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^n}.\]

Comme \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{b}{a}\right)^n \to 0\), nous avons \(\lim_{n \to \infty} U_n = 1\).

  • Si \(|a| \ < \ |b|\), alors

\[U_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} = \frac{b^n}{b^n} \left( \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n - 1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n + 1} \right) = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n - 1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n + 1}.\]

Comme \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{a}{b}\right)^n \to 0\), nous avons \(\lim_{n \to \infty} U_n = -1\).

Exercice 2

Soit \(\{U_n\}\) une suite numérique telle que \(\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n} = \ell\).

  1. Montrer que \(|\ell| < 1 \implies \{U_n\}\) converge vers 0.

  2. Montrer que \(|\ell| > 1 \implies \{U_n\}\) diverge.

  3. Que peut-on dire concernant la convergence de la suite si \(|\ell| = 1\).

  4. Application : Étudier les suites définies par \(U_n = \frac{n^k}{x^n}\) et \(V_n = \frac{x^n}{n!}\).

Corrigé

Supposons que \(|\ell| < 1\) et montrons que \(\{U_n\}\) converge vers 0.

\(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq N \implies \left|\frac{U_{n+1}}{U_n} - \ell \right| < \epsilon\) alors pour tout \(n > N\), \(-\epsilon < \frac{U_{n+1}}{U_n} - \ell < \epsilon \implies \ell - \epsilon < \frac{U_{n+1}}{U_n} < \ell + \epsilon\).

Par itération, nous obtenons \((\ell - \epsilon)^{n-N} < \frac{U_{n+1}}{U_N} < (\ell + \epsilon)^{n-N}\).

Donc, \(\frac{U_{n+1}}{U_N} < (\ell + \epsilon)^{n-N} \implies U_{n+1} < U_N (\ell + \epsilon)^{n-N}\).

Comme \(|\ell| < 1\), soit \(\epsilon_1 = \frac{1 - \ell}{2}\) alors \(\ell + \epsilon_1 < 1\), donc \(U_{n+1} < U_N (\ell + \epsilon_1)^{n-N} \to 0\) lorsque \(n \to \infty\).

Supposons que \(|\ell| > 1\) et montrons que \(\{U_n\}\) diverge.

D’après l’inégalité précédente, nous avons \((\ell - \epsilon)^{n-N} < \frac{U_{n+1}}{U_N}\). Comme \(|\ell| > 1\), soit \(\epsilon_2 = \frac{\ell - 1}{2}\) alors \(\ell - \epsilon_2 > 1\), donc \(U_{n+1} > U_N (\ell - \epsilon_2)^{n-N} \to +\infty\) lorsque \(n \to \infty\).

  1. Cas \(\ell = 1\) :

Soient \(U_n = n\) et \(V_n = \frac{1}{n}\), nous avons \(\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1\) et \(U_n\) diverge car \(\lim_{n \to \infty} U_n = +\infty\).

\(\lim_{n \to \infty} \frac{V_{n+1}}{V_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\) et \(V_n\) converge vers 0.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^k x^n}{x^{n+1} n^k} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^k}{x n^k} = \frac{1}{x}\).

  • Si \(x = 1\) alors d’après le cas \(\ell = 1\), on ne peut rien conclure.
  • Si \(x > 1\) alors \(|\ell| < 1\), \(U_n\) converge.
  • Si \(x < 1\) alors \(|\ell| > 1\), \(U_n\) diverge.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{V_{n+1}}{V_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1} n!}{(n+1)! x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0\), d’après \(|\ell| < 1\), \(V_n\) converge.

Exercice 3

Considérons la suite définie par :

\[U_0 = 1 \text{ et } \forall n \in \mathbb{N}, \ U_{n+1} = \frac{3 + 2U_n}{2 + U_n}.\]

  1. On pose \(V_{n+1} = \frac{U_n - \sqrt{3}}{U_n + \sqrt{3}}\). Montrer que la suite \((V_n)_{n \in \mathbb N}\) est géométrique.
  2. Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\).
Corrigé

Soit \(n \in \mathbb N\), \(V_{n+2}=\frac{U_{n+1}-\sqrt{3}}{U_{n+1}-\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow V_{n+2}= \frac{3+2U_n -\sqrt{3}(2+U_n)}{3+2U_n +\sqrt{3}(2+U_n)}\) \(\Leftrightarrow V_{n+2}= \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2}, V_{n+1}\).

Avec \(q = \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2}\), \((V_n)_{n \in \mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q\).

  1. Exprimons \(V_n\), \(U_n\) en fonction de n.

Soit \(n \in \mathbb N^*\)

\(V_n = V_{1}(q)^{n-1}\), donc \(V_n = (\ \frac{1-\sqrt{3}}{1+ \sqrt{3}} \ )(\ \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \ )^{n-1}\)

et \[V_{n+1} = (\ \frac{1-\sqrt{3}}{1+ \sqrt{3}} \ )(\ \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \ )^{n}\]

\[ U_n = \frac{\sqrt{3} \ [\ -1 - (\ \frac{1-\sqrt{3}}{1+ \sqrt{3}} \ )(\ \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \ )^{n} \ ]}{(\ \frac{1-\sqrt{3}}{1+ \sqrt{3}} \ )(\ \frac{-\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \ )^{n} \quad -1}\]

Exercice 4

Soit \(u_n\) et \(v_n\) deux suites numériques définies par :

\[u_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}{k^2} \text{ et } v_n = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^k}{k^2}.\]

  1. Montrons que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement monotones.
  2. Montrons que ces deux suites convergent vers la même limite.
Corrigé

Indication :

Exercice 5

Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels vérifiant \(0 \leq \beta \leq \alpha \leq \infty\). On définit par récurrence deux suites \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) en posant :

\[a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + b_{n-1}) \text{ et } b_n = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \text{ si } n \geq 1, \ a_0 = \alpha, \ b_0 = \beta.\]

  1. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(a_n \geq 0\) et \(b_n \geq 0\).
  2. Déduisez-en que \(0 \leq a_n - b_n \leq \frac{1}{2}(a_{n-1} - b_{n-1})\).
  3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(a_{n+1} \leq a_n\) et \(b_n \leq b_{n+1}\).
  4. Déduire que les suites \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) convergent vers une limite \(l \in \mathbb{R}\).
Corrigé
  1. Par récurrence.

Pour \(n=1\),
\[a_1 = \frac{1}{2}(a_0 + b_0) = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \geq 0\]
donc \(a_0 \geq 0\).

\[b_1 = \sqrt{a_0 b_0} = \sqrt{\alpha \beta} \geq 0\]
donc \(b_1 \geq 0\).

Supposons que \(a_n \geq 0\) et \(b_n \geq 0\) jusqu’au rang \(n\) et montrons que \(a_{n+1} \geq 0\) et \(b_{n+1} \geq 0\).

\[a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n) \geq 0,\]
donc \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(a_n \geq 0\).

\[b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq 0,\]
donc \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(b_n \geq 0\).

  1. Calculons \(a_n - b_n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

\[a_n - b_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + b_{n-1}) - \sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}\]

\[a_n - b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1} - 2 \sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}}{2}\]

\[a_n - b_n = \frac{(\sqrt{a_{n-1}})^2 + (\sqrt{b_{n-1}})^2 - 2 \sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}}{2}\]

\[a_n - b_n = \frac{1}{2}(\sqrt{a_{n-1}} - \sqrt{b_{n-1}})^2\]

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(a_n - b_n \geq 0 \quad (*)\).

\[(a_n - b_n) - \frac{1}{2}(a_{n-1} - b_{n-1}) = \frac{1}{2}(\sqrt{a_{n-1}} - \sqrt{b_{n-1}})^2 - \frac{1}{2}(a_{n-1} - b_{n-1})\]

Ainsi,
\[(a_n - b_n) - \frac{1}{2}(a_{n-1} - b_{n-1}) = \frac{1}{2}(\sqrt{a_{n-1}} - \sqrt{b_{n-1}})(-2 \sqrt{b_{n-1}}) \leq 0\]

Donc,
\[(a_n - b_n) \leq \frac{1}{2}(a_{n-1} - b_{n-1}) \quad \quad \quad (***)\]

L’inégalité \((***)\) combinée avec \((*)\) donne le résultat souhaité.

  1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
    \[a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(a_n + b_n) - a_n = \frac{1}{2}(b_n - a_n) \leq 0,\]
    d’où \(a_{n+1} \leq a_n\).

De même,
\[b_n - b_{n+1} = (\sqrt{b_n})^2 - \sqrt{a_n b_n} = \sqrt{b_n}(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}) \leq 0,\]
d’où \(b_n \leq b_{n+1}\).

  1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
    \[a_{n+1} \leq a_n \quad \text{et} \quad a_n - b_n \geq 0 \quad \Rightarrow \quad b_n \leq a_n.\]

La suite \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante et minorée par \(b_0\), donc elle converge vers une limite \(l \in \mathbb{R}\).
De même, \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante et majorée par \(a_0\), donc elle converge vers \(l \in \mathbb{R}\) également.

Exercice 6

On considère \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique dont aucun terme n’est nul. Supposons que

\[\lim_{n \to +\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = l \text{ avec } l \in [0, 1].\]

  1. Soit \(\epsilon > 0\), montrer qu’il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que

\[\forall n \in \mathbb{N}, n \geq N \implies \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| \leq l + \epsilon.\]

  1. Montrer qu’il existe \(\alpha \in [0, 1[\) et \(n_0 \in \mathbb{N}\) tels que :

\[\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \implies |u_{n+1}| \leq \alpha |u_n|.\]

  1. Déduire que

\[\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \implies |u_{n+1}| \leq \alpha^{n-n_0} |u_{n_0}|.\]

  1. Montrer que

\[\lim_{n \to \infty} u_n = 0.\]

Corrigé

Indication : meme démarche que l’exercice 2

Exercice 7

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{n!}{n^n}\).

  1. Montrons que \((u_n)\) est décroissante et que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a : \(0 < u_n \leq \frac{1}{n}\).
  2. Montrons que pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), on a \(n \geq k \implies 0 < u_n \leq \frac{k!}{n^k}\).
  3. Pour quelles valeurs de \(p \in \mathbb{N}\) a-t-on :

\[\lim_{n \to \infty} n^p u_n = 0 ?\]

Corrigé

Indication : exercice classique

Exercice 8

Soit \((u_n)\) une suite croissante de limite \(l\). On pose :

\[v_n = \frac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} u_k.\]

  1. Montrer que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.
  2. En déduire que

\[\lim_{n \to \infty} v_n = l.\]

Corrigé

Indication :

Savoir calculer la limite d’une suite et montrer aussi qu’elle converge est super important et nous ferons pas mal d’exo pour mieux assimiler.

Back to top
Twitter LinkedIn Github