Exercice 1
On considère l’application \(\varphi_1 : C^1([0, 1]) \times C^1([0, 1]) \to \mathbb{R}\) définie par :
\[ \varphi_1(u, v) = u(0)v(0) + \int_0^1 u'(t)v'(t) \, dt. \]
- Vérifier qu’il s’agit d’une forme bilinéaire.
- Déterminer les parties symétrique et antisymétrique de \(\varphi_1\).
Corrigé
Exercice 2
On considère l’application \(\varphi_2 : \mathbb{R}_3[X] \times \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}\) définie par : \(\varphi_2(u, v) = u(0)v(1)\).
- Vérifier qu’il s’agit d’une forme bilinéaire.
- Déterminer les parties symétrique et antisymétrique de \(\varphi_2\).
- Écrire la matrice de \(\varphi_2\) relativement à la base canonique de \(\mathbb{R}_3[X]\).
- Préciser si \(\varphi_2\) est dégénérée.
Corrigé
Exercice 3
Soient \(E = \mathbb{R}[X]\) et \(B\) l’application de \(E \times E\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(B(P, Q) = P(0)Q(1) + P(1)Q(0)\).
- Montrer que \(B\) est une forme bilinéaire symétrique.
- Est-elle positive ?
Corrigé
Exercice 4
Soient \(E = \mathbb{R}_n[X]\) et \(B\) l’application de \(E \times E\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
\[ B(P, Q) = \int_{-1}^1 P(t)Q(t) \sqrt{1 - t^2} \, dt. \]
- Montrer que \(B\) est bien définie.
- Montrer que \(B\) est une forme bilinéaire symétrique.
- Que peut-on dire des polynômes \(P\) satisfaisant \(B(P, P) = 0\) ?
- Montrer que \(\{X + 1, X^2 - 1, X - X^2\}\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\) et déterminer la matrice de \(B\) et l’expression de la forme bilinéaire dans cette nouvelle base.
Corrigé
Exercice 5
Soit \(\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) l’application définie par
\[ \varphi(x, y, z) = y^2 - 3z^2 + 2xy - 4xz + yz \]
pour tout \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\).
- Montrer que \(\varphi\) est une forme quadratique.
- Expliciter la forme bilinéaire symétrique associée à \(\varphi\).
- Quelle est la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) ?
Corrigé
Exercice 6
Soit \(a\) un nombre réel et soit \(\varphi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) l’application définie par
\[ \varphi(x, y, z, t) = ax^2 + 2axy + y^2 + 4zt - at^2 \]
pour tout \((x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4\).
- Montrer que \(\varphi\) est une forme quadratique.
- Pour quelles valeurs de \(a\) la forme quadratique \(\varphi\) est-elle non dégénérée ?
- On suppose que la forme quadratique est dégénérée. Trouver une base du noyau de \(\varphi\).