Intégrale de Riemann
Exemple 1
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha}\) a une intégrale convergente sur \([1, +\infty[\) si et seulement si \(\alpha > 1\).
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha}\) a une intégrale convergente sur \(]0, 1]\) si et seulement si \(\alpha < 1\).
correction
On a : \[ \int_{1}^{x} \frac{dt}{t^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{\alpha-1}(1 - x^{1-\alpha}), & \text{si } \alpha \neq 1 \\ \ln(x), & \text{si } \alpha = 1 \end{cases} \]
Ainsi, cette intégrale admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si \(\alpha > 1\).
De même, on a : \[ \int_{x}^{1} \frac{dt}{t^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha}(1 - x^{1-\alpha}), & \text{si } \alpha \neq 1 \\ -\ln(x), & \text{si } \alpha = 1 \end{cases} \]
Cette intégrale admet une limite finie en 0 si et seulement si \(\alpha < 1\).
Ce résultat implique directement le suivant. Soit \(a < b\) deux réels. Alors on a : \[ \int_{a}^{b} \frac{dt}{(b - t)^\alpha} < +\infty \iff \alpha < 1. \]
Intégrale de Bertrand
Exemple 2
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha \ln(t)^\beta}\) a une intégrale convergente sur \([e, +\infty[\) si et seulement si \(\alpha > 1\) ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha |\ln(t)|^\beta}\) a une intégrale convergente sur \(]0, \frac{1}{e}]\) si et seulement si \(\alpha < 1\) ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
correction
Montrons (1). Si \(\alpha > 1\), alors il existe \(\gamma > 0\) tel que \(1 < \gamma < \alpha\). On a alors : \[ \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta} = o \left( \frac{1}{t^\gamma} \right), \] et donc la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta}\) a une intégrale convergente sur \([e, +\infty[\).
Si \(\alpha = 1\), posons \(u = \ln t\). Alors pour \(x \in [e, +\infty[\) on a : \[ \int_{e}^{x} \frac{dt}{t (\ln t)^\beta} = \int_{1}^{\ln x} \frac{du}{u^\beta} = \begin{cases} \frac{1}{\beta - 1} (1 - (\ln x)^{1-\beta}), & \text{si } \beta \neq 1 \\ \ln (\ln x), & \text{si } \beta = 1 \end{cases} \]
D’où le résultat.
Montrons (2). Supposons \(\alpha < 1\). Alors pour \(\gamma\) tel que \(\alpha < \gamma < 1\), on a : \[ \frac{1}{t^\alpha |\ln t|^\beta} = o \left( \frac{1}{t^\gamma} \right), \] d’où le résultat étant donné que l’intégrale sur \([0, 1]\) de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\gamma}\) est convergente.
De même que pour le cas (i), on trouve : \[ \int_{e}^{1} \frac{dt}{t |\ln t|^\beta} = \int_{-\ln x}^{1} \frac{du}{| u |^\beta}, \] d’où le résultat.
Exercices
Exercice 1
Étudier la convergence de l’intégrale \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^u (1-x)^{1-u}}\] en fonction du paramètre \(u\).
Corrigé
Exercice 2
Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(\beta \in \mathbb{R}\). Déterminer l’ensemble des couples \((\alpha, \beta)\) pour lesquels l’intégrale généralisée \[\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{\alpha}}{1+t^{\beta}}dt\] est convergente.
Soit \(f\) une fonction intégrable sur tout intervalle borné de \(\mathbb{R}\) telle que : \[ \lim_{t \to +\infty} f(t)=l \quad \text{et} \quad \lim_{t \to -\infty}=l'\] Calculer \[\int_{-\infty}^{+\infty}(f(t+1)-f(t)) dt\]
Corrigé
Indication
Exercice 1
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^{3/2}} \, dt\]
Corrigé
\(f\) est conitnue et positive sur \([0, +\infty[\). \(\forall t \in [1, +\infty[\),
\[ f(t)= \frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{1}{(t^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^3}\] Or \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^3} \, dt\) converge car on reconnait une intégrale de Riemann ( \(\alpha = 3 > 1\) ).
Par comparaison : \(\int_{1}^{+\infty}f\) converge et comme \(f\) est prolangeable par continuité sur \([0,1]\), \(\int_{0}^{+\infty}f\) converge.
Exercice 2
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^{+\infty} t |\cos t|^3 \, dt\]
Corrigé
Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb R\) , \(t\) associe à \(t |\cos t|^3\).
\(f\) est continue et positive sur \([0, +\infty[\).
\(\forall t \in [1, +\infty[\),
\[ t |\cos t|^3 \geq |cos t|^3\] \[\begin{align*}\int_0^{\pi}|\cos t|^3 \, dt &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^3 \, dt \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(t) - \sin (t)^2 \cos(t)) \, dt \\ &= 2[ \sin(t) + \frac{1}{3} \sin(t)^3]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{2}{3} \end{align*}\]
Soit \(n \in \mathbb N^{*}\). Par la relation de Chasles
\[ \int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \, dt = (\frac{2}{3})n \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \, dt \quad \to \infty \]
Alors, \[\int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \quad \text{diverge} \]
Donc, par comparaison : \[\int_0^{+\infty} t |\cos t|^3 \quad \text{diverge} \]
Exercice 3
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt, \quad \alpha \in \mathbb{R}\]
Corrigé
Exercice 4
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^{5/2}} \, dt\]
Corrigé
Exercice 5
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^3}}\]
Corrigé
Exercice 6
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1} \, dt\]
Corrigé
Exercice 7
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{t}{e^t-1} \, dt\]
Corrigé
Exercice 8
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_a^b \frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}\]
Corrigé
Exercice 9
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_1^{\sqrt{2}} \frac{dx}{x\sqrt{x^4 + 3x^2 - 2}}\]
Corrigé
Exercice 10
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{\arcsin(\sqrt{x})}{(1-x)^{3/2}} \, dx\]
Corrigé
Exercice 11
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \frac{x - \arctan(x)}{x(1+x^2)\arctan(x)} \, dx\]
Corrigé
Exercice 12
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^\infty \frac{\sin t}{\sqrt{t + \cos t}} \, dt\]
Corrigé
Exercice 13
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 \ln(t) \sin\left(\frac{1}{t}\right) \, dt\]
Corrigé
Exercice 14
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_1^\infty \frac{(\ln t) \cos t}{t^{3/2}} \, dt\]
Corrigé
Exercice 15
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^1 (\sin(x)) \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \, dx\]
Corrigé
Exercice 16
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^\infty \sqrt{t} \cos(t^2) \frac{dt}{e^t-1}\]
Corrigé
Exercice 17
Étudier la convergence de l’intégrale suivante :
\[\int_0^\infty \frac{1}{t^2} \sin\left(\frac{1}{t^2}\right) \, dt\]