Sommes de Riemann
Définition.
Soit \(f\) une fonction définie sur \([a,b]\). Pour toute subdivision \(\sigma\) \(=(a_0, \cdots, a_n)\) et pour tout \(c_0,\cdots,c_{n-1}\) tels que \(c_i \in [a_i,a_{i+1}]\),
la somme \(\sum_{i=0}^{n}(a_{i+1}-a_i)f(c_i)\) est une somme de Riemann associée à f, à la subdivision \(\sigma\) et à \(c_i\).
Remarque.
On note \(\sigma_{n}\) la subdivision de \([a,b]\) de pas \(\frac{b-a}{n}\). La somme \[S(f,\sigma_{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}f(a+i\frac{b-a}{n})\] est une somme de Riemann associée à f et à la subdivision \(\sigma_{n}\).
Théorème.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Alors, pour toute fammille
\[\lim_{n \to +\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f(a+i\frac{b-a}{n})= \int_{a}^{b} f\ .\]
Énoncé 1
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}\]
Corrigé
Posons \(x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}\) , donc \[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(\frac{k}{n}+1)} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\frac{k}{n}+1}\]
avec \(f(t)\) =\(\frac{1}{1+t}\) sur \([0,1]\), on reconnait la somme de Riemann et la subdivision régulière est \(\sigma_{n}^{k}\) = \(\frac{k}{n}\), \(k \in \{1, \dots, n\}\).
Comme \(f\) est continue sur \([0,1]\), donc elle est intégrable au sens de Riemann sur \([0,1]\).
La limite est donc \[\lim_{n \to +\infty} x_n = \int_{0}^{1} f(t) \, dt = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+t}\,dt = [ \ln(1+t) ]_{0}^{1} = \ln2\]
Énoncé 2
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{1}{n^2} \left(\sqrt{1(n-1)} + \sqrt{2(n-2)} + \cdots + \sqrt{(n-1)1}\right)\]
Corrigé
Posons \[c_n = \frac{1}{n^2} \left(\sqrt{1(n-1)} + \sqrt{2(n-2)} + \cdots + \sqrt{(n-1)1}\right)\] En factorisant, on remarque que \[c_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{ \frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})} \]
Ainsi, \(f(t) = \sqrt{t(1-t)}\) sur \([0,1]\), on reconnait la somme de Riemann et la subdivision régulière est \(\sigma_{n}^{k}\) = \(\frac{k}{n}\), \(k \in \{1, \dots, n\}\).
Comme \(f\) est continue sur \([0,1]\), elle est intégrable au sens de Riemann sur \([0,1]\).
La limite est donc \[\lim_{n \to +\infty} c_n = \int_{0}^{1} f(t) \, dt = \int_{0}^{n} \sqrt{t(1-t)}\]
Rappel : \[t(1-t) = t-t^2 = \frac{1}{4}-(t-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}(1-(2t-1)^2 )\]
En effectuant un changement de variable, \(2t-1 =\) \(\sin{y}\), on obtient :
\[ c_n = \frac{1}{8}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(2y)+1)dy = \frac{\pi}{8}\]
Énoncé 3
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[n \sqrt{(1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{2}{n}) \cdots (1 + \frac{n}{n})}\]
Corrigé
Indication:
On applique \(\ln\) et après on reconnait la fonction \(f\)
Énoncé 4
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{\pi}{n} \left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)\right)\]
Corrigé
Soit \[d_n = \frac{\pi}{n} \left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)\right)\]
donc, \[d_n = \frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sin(\frac{k}{n}\pi)\] Avec, \(f(t) = \sin(t)\) sur \([0,\pi]\), on reconnait la somme de Riemann et la subdivision régulière est \(\sigma_{n}^{k}\) = \(\frac{k}{n}\), \(k \in \{1, \dots, n\}\). Comme \(f\) est continue sur \([0,\pi]\), donc elle est intégrable au sens de Riemann sur \([0,\pi]\).
La limite est donc \[\lim_{n \to +\infty} d_n = \int_{0}^{\pi} f(t) \, dt = \int_{0}^{\pi}\sin(t)\,dt = [ -\cos(t) ]_{0}^{\pi} = 2\]
Énoncé 5
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{\sum_{k=1}^{n}k^{a-1}}{n^a}, \quad a \ge 1\]
Corrigé
Posons \[ e_n = \frac{\sum_{k=1}^{n}k^{a-1}}{n^a}, \quad a \ge 1\]
Alors \[ e_n =\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{a-1}}{n^a} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{a-1}}{n^{a-1}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n} \right)^{a-1}\]
avec \(f(t) = t^{a-1}\) sur \([0,1]\), on reconnait la somme de Riemann et la subdivision régulière est \(\sigma_{n}^{k}\) = \(\frac{k}{n}\), \(k \in \{1, \dots, n\}\).
Comme \(f\) est continue sur \([0,1]\), elle est intégrable au sens de Riemann sur \([0,1]\).
La limite est donc \[\lim_{n \to +\infty} e_n = \int_{0}^{1} f(t) \, dt = \int_{0}^{1}t^{a-1}\,dt= \frac{1}{a}\]
Énoncé 6
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 + \cos\left(\frac{k \pi}{n}\right)}\]
Corrigé
Indication:
Il faut donner une équivalence de \(\sin\)
Énoncé 7
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 \sin\left(\frac{k \pi}{n}\right)\]
Corrigé
Posons \[ f_n = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 \sin\left(\frac{k \pi}{n}\right) \]
Alors \[ f_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^2} \sin\left(\frac{k \pi}{n}\right) = \frac{1}{\pi^3} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k\pi}{n}\right)^2 \sin\left(\frac{k \pi}{n}\right) \]
Avec \(f(t) = t^2 \sin(t)\) sur \([0, \pi]\), on reconnaît la somme de Riemann, et la subdivision régulière est \[ \sigma_{n}^{k} = \frac{k}{n}, \quad k \in \{1, \dots, n\}. \]
Comme \(f\) est continue sur \([0, \pi]\), elle est donc intégrable au sens de Riemann sur \([0, \pi]\).
Finalement, nous avons \[ \lim_{n \to +\infty} f_n = \frac{1}{\pi^3} \int_0^\pi f(t) \, dt = \frac{1}{\pi^3} \int_0^\pi t^2 \sin(t) \, dt = \frac{\pi^2 + 4}{\pi^3}. \]
Énoncé 8
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[n \sqrt{\left(1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1 + \left(\frac{2}{n}\right)^2\right) \cdots \left(1 + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}\]
Corrigé
On pose \[ g_n = n \sqrt{\left(1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1 + \left(\frac{2}{n}\right)^2\right) \cdots \left(1 + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right)} \]
Indication:
On pose \[ G_n = \ln(g_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \]
Avec \(f(t) = \ln(1+t)\) sur \([0,1]\), on reconnaît la somme de Riemann et la subdivision régulière est \[ \sigma_{n}^{k} = \frac{k}{n}, \quad k \in \{1, \dots, n\}. \] Comme \(f\) est continue sur \([0,1]\), donc elle est intégrable au sens de Riemann sur \([0,1]\), et \[ \int_0^1 \ln(1+t) \, dt = 2\ln(2) - 1. \]
Or grâce à la continuité de la fonction \(\ln\), on a : \[ \lim_{n \to +\infty} g_n = e^{2\ln(2) - 1} = \frac{4}{e}. \]
Énoncé 9
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\left( \frac{n+1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n+2}{\sqrt{2n}} \cdots \frac{2n}{\sqrt{n^2}} \right)^{\frac{1}{\ln(n)}}\]
Corrigé
Indication:
On applique \(\ln(x_n)\)
Énoncé 10
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\sum_{k=1}^{n} \tan^2\left(\frac{1}{\sqrt{n+k}}\right)\]
Corrigé
La limite de cette suite est …
Énoncé 11
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (n - k) \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) \, dt,\] où \(f\) est une fonction continue sur \([0, 1]\)
Corrigé
La limite de cette suite est …
Énoncé 12
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\sum_{n=1}^{n} \sin\left(\frac{k}{n}\right) \sin\left(\frac{k}{n^2}\right)\] (utiliser un encadrement de \(\sin(x)\))
Corrigé
La limite de cette suite est …
Énoncé 13
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\ln\left(1 + \frac{\pi}{n}\right) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 + \cos\left(\frac{3k \pi}{n}\right)}\]
Corrigé
Indication:
On donne une équivalence de \(\ln\left(1 + \frac{\pi}{n}\right)\).
Puis sur l’intégrale, après avoir reconnu la fonction associée,
on effectue un changement de variable: \(u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)\)
Énoncé 14
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{\sqrt{n!}}{n^n}\]
Corrigé
Pareil,
On pose \(V_n = \ln(u_n)\), avec \(u_n = \frac{\sqrt{n!}}{n^n}\) et par la continuité de \(\ln\), on arrive à trouver le résultat voulu.
Énoncé 15
Calculer la limite de la suite suivante quand \(n \to \infty\) :
\[\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{kn}\]
Corrigé
Indication: On factorise par \(\frac{1}{n}\),
Puis on reconnaît la fonction \(f(t) = \frac{1}{1+t}\) sur l’intervalle \([0,k-1]\). Et enfin, on obtient le résultat voulu.
Exercice 16
Calculer la limite de la suite suivante :
\[ u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k^2 + n^2} \]
Correction
- Soit \(u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k^2 + n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1}\). En posant \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), nous venons d’écrire la somme de Riemann correspondant à \(\int_0^1 f(x) \, dx\). Cette intégrale se calcule facilement :
\[ \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \left[ \arctan(t) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}. \]
La somme de Riemann \(u_n\), convergeant vers \(\int_0^1 f(x) \, dx\), nous venons de montrer que \(u_n\) converge vers \(\frac{\pi}{4}\).
Exercice 17
Calculer la limite de la suite suivante :
\[ v_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k^2}{n^2} \right)^{\frac{1}{n}} \]
Correction
- Soit \(v_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k^2}{n^2} \right)^{\frac{1}{n}}\). Notons
\[ w_n = \ln(v_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k^2}{n^2} \right). \]
En posant \(g(x) = \ln(1 + x^2)\), nous reconnaissons la somme de Riemann correspondant à \(\int_0^1 g(x) \, dx\). Calculons cette intégrale :
\[ I = \int_0^1 g(x) \, dx = \int_0^1 \ln(1 + x^2) \, dx. \]
Utilisons l’intégration par parties :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ x \ln(1 + x^2) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + x^2} x \, dx \\ &= \ln(1 + 1^2) - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \\ &= \ln(2) - 2 \left( \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{1 + x^2} \, dx \right) \\ &= \ln(2) - 2 \left( \left[ x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2} \right) \\ &= \ln(2) - 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \ln(2) - 2 + \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \]
Nous venons de prouver que \(w_n = \ln(v_n)\) converge vers \(I = \ln(2) - 2 + \frac{\pi}{2}\), et puisque la fonction \(\exp\) est continue, alors \(v_n = \exp(w_n)\) converge vers
\[ \exp \left( \ln(2) - 2 + \frac{\pi}{2} \right) = 2 \exp \left( \frac{\pi}{2} - 2 \right). \]
Conclusion : \((v_n)\) a pour limite \(2\exp\left( \frac{\pi}{2} - 2 \right)\).