Exercice 1
Soit \((f_n)_{n \geq 1}\) la suite de fonctions définies de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\) par :
\[ \forall n \geq 1, \quad f_n(x) := \begin{cases} \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n & \text{si } 0 \leq x < n, \\ 0 & \text{si } x \geq n. \end{cases} \]
Montrer que \((f_n)_{n \geq 1}\) converge simplement vers la fonction \(x \in \mathbb{R}_+ \mapsto e^{-x} \in \mathbb{R}\).
Montrer que \(\sup_{x \in \mathbb{R}_+} |e^{-x} - f_n(x)| \leq \frac{1}{ne}\) pour tout \(n \geq 1\). Que peut-on en déduire ?
Corrigé
Il est clair que \(f_n(0) = 1\) pour tout entier \(n \geq 1\). On en déduit que \(f_n(0) \xrightarrow{n \to +\infty} e^0 = 1\).
D’autre part, si \(x\) est un réel strictement positif et \(n\) un entier strictement supérieur à \(x\), on a :
\[ f_n(x) = \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 - \frac{x}{n}\right)} \xrightarrow{n \to +\infty} e^{-x}. \]
Ceci prouve que la suite de fonctions \((f_n)_{n \geq 1}\) est simplement convergente sur \(\mathbb{R}_+\) vers la fonction \(x \mapsto e^{-x}\).
Pour tout entier \(n \geq 2\), on note respectivement \(\overline{f}_n\) et \(\phi_n\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}_+\) et sur \([0, n[\) par :
\[ \forall x \geq 0, \quad \overline{f}_n(x) := e^{-x} - f_n(x) = \begin{cases} e^{-x} - \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n & \text{si } 0 \leq x < n, \\ e^{-x} & \text{si } x \geq n, \end{cases} \]
et
\[ \forall x \in [0, n[, \quad \phi_n(x) := (n - 1) \ln\left(1 - \frac{x}{n}\right) + x. \]
On montre que \(\overline{f}_n\) est strictement croissante sur \(]0, \alpha_n[\) et strictement décroissante sur \(]\alpha_n, +\infty[\), où \(\alpha_n\) est l’unique point critique de \(\phi_n\). On en déduit que :
\[ \sup_{x \in \mathbb{R}_+} \overline{f}_n(x) = \overline{f}_n(\alpha_n) = \frac{\alpha_n e^{-\alpha_n}}{n}. \]
Comme \(\alpha_n e^{-\alpha_n} < \frac{1}{e}\), on a :
\[ \forall n \geq 2, \quad 0 < \sup_{x \in \mathbb{R}_+} \overline{f}_n(x) < \frac{1}{ne}. \]
Pour \(n = 1\), on montre que \(\sup_{x \in \mathbb{R}_+} \overline{f}_1(x) = \frac{1}{e}\). Ainsi, on a :
\[ \forall n \geq 1, \quad 0 < \sup_{x \in \mathbb{R}_+} \overline{f}_n(x) \leq \frac{1}{ne}. \]
Déduction : La suite de fonctions \((f_n)_{n \geq 1}\) est uniformément convergente vers la fonction \(x \mapsto e^{-x}\). \(\square\)
Exercice 2
On considère la suite de fonctions \((f_n)\) définies de l’intervalle \([0, \pi]\) dans \(\mathbb{R}\) par :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad f_n(x) := \cos^n x \cdot \sin x. \]
Montrer que \((f_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle sur \([0, \pi/2]\).
Soient \((g_n)\) la suite de fonctions définie par \(g_n := (n + 1)f_n\) et \(\delta\) un réel de \([0, \pi]\).
Montrer que sur l’intervalle \([\delta, \pi]\), la suite \((g_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle.
La suite de fonctions \((g_n)\) converge-t-elle uniformément sur \([0, \pi/2]\) vers la fonction nulle ?
Corrigé
On montre que :
\[ m_n := \sup_{x \in [0, \pi/2]} |f_n(x)| = f_n(x_n) = \sin x_n \cdot \cos^n x_n \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}}, \]
où \(x_n := \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\). Comme \((m_n)\) converge vers zéro, la suite de fonctions \((f_n)\) est uniformément convergente sur \([0, \pi/2]\) vers la fonction nulle. \(\square\)
- Pour tout entier \(n \geq 0\), on a :
\[ 0 \leq \sup_{x \in [\delta, \pi/2]} g_n(x) \leq (n + 1) \cos^n \delta \xrightarrow{n \to +\infty} 0. \]
Ainsi, la suite \((g_n)\) converge uniformément sur \([\delta, \pi/2]\) vers la fonction nulle. \(\square\)
- Chaque fonction \(g_n\) est continue sur \([0, \pi/2]\), donc intégrable. De plus, pour tout entier \(n \geq 0\), on a :
\[ \int_0^{\pi/2} g_n(t) \, dt = (n + 1) \int_0^{\pi/2} \cos^n t \cdot \sin t \, dt = \left[-\cos^{n+1} t\right]_0^{\pi/2} = 1. \]
Ceci prouve que \((g_n)\) ne converge pas uniformément sur \([0, \pi/2]\) vers la fonction nulle. \(\square\)
Exercice 3
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit l’application :
\[ u_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \frac{x}{n^2 + x^2}. \]
- Montrer que la série de fonctions \(\sum u_n\) converge simplement sur \(\mathbb{R}^+\) vers une fonction continue, mais que la convergence de la série n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}^+\).
- Montrer que la série de fonctions \(\sum (-1)^n u_n\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}^+\), mais que la convergence n’est pas normale sur \(\mathbb{R}^+\).
Corrigé
La suite numérique \((u_n(0))_{n\geq 1}\) étant constamment nulle, la série numérique de terme général \(u_n(0)\) est convergente. D’autre part, si \(x > 0\) alors :
\[ 0 < u_n(x) \sim \frac{x}{n^2} > 0. \]
Donc la série numérique de terme général \(u_n(x)\) est convergente. Ceci prouve que la série de fonctions \(\sum u_n\) converge simplement sur \(\mathbb{R}^+\) vers la fonction :
\[ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x). \]
On pose \(v_n(x) = \frac{1}{n^2 + x^2}\). La série \(\sum v_n\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}^+\) car :
\[ 0 < v_n(x) \leq \frac{1}{n^2}. \]
Ainsi, la fonction :
\[ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x) \]
est continue sur \(\mathbb{R}^+\). Puisque \(S(x) = x f(x)\), on conclut que \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\).
Enfin, on va montrer que la série \(\sum u_n\) n’est pas uniformément convergente. Pour cela, on utilise :
\[ \sum_{k=1}^{+\infty} u_k(x) - \sum_{k=1}^{n} u_k(x) \geq x \int_{n+1}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + x^2}. \]
On obtient alors :
\[ \forall n \geq 1, \quad \sum_{k=1}^{+\infty} u_k(n+1) - \sum_{k=1}^{n} u_k(n+1) \geq \frac{\pi}{4}. \]
Ceci montre que la série \(\sum u_n\) n’est pas uniformément convergente sur \(\mathbb{R}^+\).
Pour la série \(\sum (-1)^n u_n\), on utilise le critère d’Abel uniforme. Comme la suite \((u_n(x))\) est décroissante et tend uniformément vers 0, la série \(\sum (-1)^n u_n\) est uniformément convergente.
Enfin, pour montrer que la convergence de \(\sum (-1)^n u_n\) n’est pas normale sur \(\mathbb{R}^+\), il suffit de remarquer que la série numérique de terme général :
\[ \sup_{x \in \mathbb{R}^+} |(-1)^n u_n(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}^+} u_n(x) = \frac{1}{2n} \]
est divergente.
Exercice 4
Soit \((a_n)_{n\geq 1}\) une suite de nombres réels positifs et décroissante. Pour tout entier \(n \geq 1\) et tout \(x \in [0,1]\), on pose :
\[ u_n(x) = a_n x^n (1-x). \]
- Montrer que la série de fonctions \(\sum u_n\) converge simplement sur \([0,1]\).
- Montrer que la série de fonctions \(\sum u_n\) converge uniformément sur \([0,1]\) si et seulement si la suite \((a_n)_{n\geq 1}\) tend vers \(0\).
- Montrer que la série de fonctions \(\sum u_n\) converge normalement sur \([0,1]\) si et seulement si la série numérique \(\sum \frac{a_n}{n}\) converge.
Corrigé
La suite \((a_n)\) étant décroissante et positive, elle est convergente dans \(\mathbb{R}\). En particulier, il existe une constante \(M > 0\) telle que \(a_n \leq M\) pour tout \(n \geq 1\).
Si \(x \in \{0,1\}\), alors \(u_n(x) = 0\) pour tout \(n\). Donc la série numérique de terme général \(u_n(x)\) est convergente. Pour \(x \in ]0,1[\), on a :
\[ 0 \leq u_n(x) \leq M (1-x) x^n. \]
Puisque la série géométrique de terme général \(x^n\) est convergente, la série de fonctions \(\sum u_n\) converge simplement sur \([0,1]\).
Convergence uniforme : On suppose que la série \(\sum u_n\) est uniformément convergente et soit \(\varepsilon > 0\). Par le critère de Cauchy, il existe un entier \(N\) tel que :
\[ \forall q > N, \forall x \in [0,1], \quad (1-x) \sum_{k=N+1}^{q} a_k x^k \leq \varepsilon. \]
On en déduit que :
\[ a_q (1-x) x^q \leq \varepsilon. \]
En faisant tendre \(q\) vers \(+\infty\), on obtient que \(\lim_{q\to+\infty} a_q = 0\).
Réciproquement, si \(\lim a_n = 0\), alors pour tout \(x \in [0,1[\) :
\[ 0 \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \leq a_{n+1} x^{n+1} \leq a_{n+1}. \]
Donc la série \(\sum u_n\) est uniformément convergente sur \([0,1]\).
Convergence normale : On montre que :
\[ \sup_{x\in[0,1]} u_n(x) = \frac{a_n}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \sim \frac{a_n}{ne}. \]
La série \(\sum u_n\) est normalement convergente si et seulement si la série numérique \(\sum \frac{a_n}{n}\) est convergente.