Séries de fourier

Exercice 1

Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \, t \mapsto |\cos t|\).

1. Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).

2. Étudier la convergence de la série de Fourier de \(f\).

3. En déduire les sommes de séries suivantes :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n^2 - 1}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(4n^2 - 1)^2}. \]

Corrigé

Exercice 2

Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodique, impaire, telle que :

\[ \forall t \in [0, \pi], \quad f(t) = \sin^2 t. \]

1. Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).

2. Étudier la convergence de la série de Fourier de \(f\).

3. En déduire les sommes de séries suivantes :

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)}, \quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\left((2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)\right)^2}. \]

Corrigé

Exercice 3

Soient \(a, b \in ]0, \pi[\) tels que \(a \leq b\) et \(a + b \leq \pi\), \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodique, continue, paire, telle que :

\[ f(t) = 1 \, \text{si} \, t \in [0, b - a], \quad f(t) = 0 \, \text{si} \, t \in [a + b, \pi], \quad \text{et} \, f \, \text{est affine sur} \, [b - a, a + b]. \]

1. Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).

2. Étudier la convergence de la série de Fourier de \(f\).

3. En déduire les sommes de séries suivantes :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(an)\sin(bn)}{n^2}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2(an)\sin^2(bn)}{n^4}. \]

Corrigé

Exercice 4

Calculer :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2(n + 1)^2}, \quad \int_0^1 x E\left(\frac{1}{x}\right) dx. \]

Corrigé

Exercice 5

Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\), \(2\pi\)-périodique, de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer :

\[ \int_0^{2\pi} |f(x)|^2 \, dx + \int_0^{2\pi} |f''(x)|^2 \, dx \geq 2 \int_0^{2\pi} |f'(x)|^2 \, dx. \]

Corrigé

Exercice 6

Trouver toutes les applications \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodiques, de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\), telles que :

\[ \int_0^{2\pi} f(x) \, dx = 0 \quad \text{et} \quad |f''(x)| \leq |f(x)|. \]

Corrigé

Exercice 7

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la fonction \(2\pi\)-périodique, impaire telle que :

\[ \forall x \in ]0, \pi[, \ f(x) = 1 \quad \text{et} \quad f(n\pi) = 0 \ \text{pour tout} \ n \in \mathbb{Z}. \]

1. Calculer les coefficients de Fourier réels de \(f\).
2. Montrer que la série de Fourier de \(f\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers \(f\). Justifier sans calcul que cette convergence n’est pas uniforme. En déduire que \[\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac{\pi}{4}.\]
3. À l’aide de l’égalité de Bessel-Parseval, montrer que \[\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.\] En déduire la somme des séries \[\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}.\]

Corrigé

Exercice 8

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) une fonction \(2\pi\)-périodique, dérivable, telle qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) vérifiant :

\[ \forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = f(x + \lambda). \]

1. Démontrer la relation suivante : \(\forall n \in \mathbb{Z}, \ (in - e^{in\lambda})c_n(f) = 0\).
2. En déduire qu’une telle fonction \(f\) non identiquement nulle existe si et seulement si \(\lambda \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\).

Corrigé

Exercice 9

Soient \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\) et \(f_\alpha\) la fonction, \(2\pi\)-périodique, définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f_\alpha(t) := \cos \alpha t, \ \text{pour tout} \ t \in [-\pi, \pi]. \]

1. 1. Déterminer la série de Fourier de \(f_\alpha\).
   2. En déduire, pour tout \(t \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Z}\), que \[ \cot t = \frac{1}{t} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2t}{t^2 - n^2 \pi^2}. \]
2. Soient \(x\) un élément de l’intervalle ouvert \(]0, \pi[\) et \(n\) un entier positif non nul. Soient \(f\) et \(u_n\) les fonctions numériques définies sur l’intervalle \([0, x]\) par :

\[ \forall t \in [0, x], \ f(t) := \begin{cases} \cot t - \frac{1}{t} & \text{si} \ t \in ]0, x], \\ 0 & \text{si} \ t = 0, \end{cases} \]

et

\[ u_n(t) := \frac{2t}{t^2 - n^2 \pi^2}. \]

1. Justifier que \(f\) est intégrable sur \([0, x]\) et calculer l’intégrale \(\int_{0}^{x} f(t) \, dt\).
2. Montrer que la série de fonctions \(\sum_{n \geq 1} u_n\) est uniformément convergente sur \([0, x]\).
3. Montrer, à l’aide de ce qui précède, que : \[ \forall x \in ]-\pi, \pi[, \ \sin x = x \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right). \]

Corrigé