Integrale de Riemann

Exercice 1

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0; 4]\) par

\[ f(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x = 0 \\ 1 & \text{si } 0 < x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ -2 & \text{si } 1 < x \leq 2 \\ 4 & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases} \]

1. Montrer que \(f\) est en escalier.
2. Donner deux subdivisions \(\sigma\) et \(\sigma'\) adaptées à \(f\).
3. Calculer \(S(f, \sigma)\) et \(S(f, \sigma')\).
4. Donner enfin \(\int_0^4 f(x) \, dx\).

Corrigé

1. La subdivision \(\sigma = (0,1,2,4)\) est adaptée à \(f\), car \(f\) prend des valeurs constantes sur \(]0,1[\), \(]1, 2[\), et \(]2, 4[\).

2. Donnons deux subdivisions \(\sigma \quad \text{et} \quad \sigma'\) adaptées à \(f\).

On peut choisir \(\sigma = (0, 1, 2, 3, 4)\) et \(\sigma' = (0,1,2,4)\) qui sont adaptées à \(f\) car dans 1) on sait que \(\sigma'\) l’est et de plus \(\sigma\) est plus fine que \(\sigma'\).

3. Calculons \(S(\sigma, f)\) et \(S(\sigma', f)\).

• \(S(\sigma', f) = (1-0)(1) + (2-1)(-2) + (4-2)(4) = 1 - 2 + 8 = 7\)

• \(S(\sigma, f) = (1-0)(1) + (2-1)(-2) + (3-2)(4) + (4-3)(4) = 7\)

4. Calculons l’intégrale.

\[ \int_{0}^{4} f(x) \, dx = S(\sigma, f) = S(\sigma', f) = 7 \]

Exercice 2

Tout nombre \(x \in [0, 1[\) admet une écriture décimale propre unique \(0, a_1a_2a_3 \ldots\). On note \(u_x\) la première décimale \((a_1)\) après la virgule dans l’écriture de \(x\). Soit \(\Phi : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(\Phi(x) = u_x\) pour \(x \in [0, 1[\) et \(\Phi(1) = 0\). Calculer \(\int_0^1 \Phi(x) \, dx\).

Corrigé

Soit \[ \phi(x): \begin{cases} [0, 1] & \to \mathbb R \\ x & \to \begin{cases} u_x & \text{si} \quad x \in [0,1[ \\ 0 & \text{si} \quad x = 0 \\ \end{cases} \end{cases}\]

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1} \, \phi = & \, 0,1(0 + 0,1 + 0,2 + \dots + 0,9) \\ = & \, 0,1 \left( \frac{9}{2} (0,1 + 0,9) \right) \\ = & \, \frac{9}{20} \end{aligned}\]

Exercice 3

Calculer \(\int_a^b f(x) \, dx\) dans les différents cas suivants : - \(a = -3\), \(b = 3\) et \(f(x) = \lfloor x \rfloor\). - \(a = 0\), \(b = 2\) et \(f(x) = \lfloor x^2 \rfloor\). - \(a = \frac{1}{5}\) et \(b = 1\) et \(f(x) = \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\).

Corrigé

1. \[\int_{-3}^{3} \, E =\int_{-3}^{-2} \, E +\int_{-2}^{-1} \, E +\int_{-1}^{0} \, E +\int_{0}^{1} \, E +\int_{1}^{2} \, E +\int_{2}^{3} \, E \]

Or \(E\) est constante sur chacun des intervales donc, \(\int_{-3}^{3} \, E = -3-2-1+0+1+2 = -3.\)

2. \(\int_{0}^{2} \, E(x^2) = \ ?\)

Pour \(x \in [0,1],\) \(x^2 \in [0, 1]\) donc \(E(x^2)=0\).\ Pour \(x \in [1,\sqrt{2}],\) \(x^2 \in [0, 2]\) donc \(E(x^2)=1\).\ Prendre \(\sigma = (0,1,\sqrt{2},\sqrt{3},2)\) est une subdivision adaptée à \(f\). Et donc, \[\begin{aligned}\int_{0}^{2} \, E(x^2)dx = & 1(0)+(\sqrt{2}-1)(1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})(2)+(2-\sqrt{3})(3)\\ = & 5-\sqrt{2}-\sqrt{3} \end{aligned}\]

3. \(\int_{0}^{2} \, E(\frac{1}{x}) = \ ?\)

Une subdivision adaptée à \(f\) est \(\sigma = (\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1)\).\

Ainsi, \[\begin{aligned}\int_{0}^{2} \, E(\frac{1}{x}) \, dx = & (\frac{1}{4}-\frac{1}{5})(4)+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})(3)+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})(2)+(1-\frac{1}{2})(1)\\ = & \frac{77}{60} \end{aligned}\]

Exercice 4

1. Soit \(\Phi_1 : [0, a] \to \mathbb{R}\) en escalier et posons \(\Phi_2 : [-a, 0] \to \mathbb{R}\) définie par \(\Phi_2(x) = \Phi_1(-x)\). Montrer que \(\Phi_2\) est en escalier et qu’on a \(\int_0^a \Phi_1(x) \, dx = \int_{-a}^0 \Phi_2(x) \, dx\).
2. En déduire que si \(\phi\) est une fonction en escalier et paire sur \([-a, a]\), alors \(\int_{-a}^a \phi(x) \, dx = 2 \int_0^a \phi(x) \, dx\). Montrer de même que si \(\psi\) est une fonction en escalier et impaire sur \([-a, a]\), alors \(\int_{-a}^a \psi(x) \, dx = 0\).

Corrigé

1. Soit \(\Phi_1 : [0,a] \to \mathbb{R}\) en escalier et posons \(\Phi_2 : [-a,0] \to \mathbb{R}\) définie par \(\Phi_2(x) = \Phi_1(-x)\).

Montrons que \(\Phi_2\) est en escalier et qu’on a \(\int_{0}^{a} \Phi_1(x) \, dx = \int_{-a}^{0} \Phi_2(x) \, dx\).

Prenons une subdivision \(\sigma_1 = (x_0, \dots, x_n)\) de \([0,a]\). Alors pour tout \(i \in \{0, \dots, n-1\}\), pour tout \(x \in ]x_i, x_{i+1}[\), \(\Phi_1(x) = c_i\).

Considérons la subdivision sur \([-a,0]\), \(\sigma_2 = (y_0, \dots, y_n)\) une subdivision de \([0,a]\). Alors pour tout \(i \in \{0, \dots, n-1\}\), pour tout \(x \in ]y_i, y_{i+1}[\), \(x \in ]-x_{n-i}, -x_{n-i-1}[\), \(\Phi_2(x) = \Phi_1(x_{n-i-1}) = c_{n-i-1}\). Ainsi, \(\Phi_2\) est bien une fonction en escalier.

Nous avons donc :

\[\begin{align*} \int_{-a}^{0} \Phi_2(x) \, dx &= \sum_{i=0}^{n-1} (y_{i+1} - y_i) c_{n-i-1} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} (x_{n-i-1} - x_{n-i}) c_i \\ &= \int_0^a \Phi_1(x) \, dx. \end{align*}\]

D’où le résultat.

2. Soit \(\phi : [-a,a] \to \mathbb{R}\) en escalier et paire. On a :

\[\begin{align*} \int_{-a}^{a} \phi(x) \, dx &= \int_{-a}^{0} \phi(x) \, dx + \int_0^a \phi(x) \, dx \\ &= 2 \int_0^a \phi(x) \, dx. \end{align*}\]

Enfin, soit \(\psi : [-a,a] \to \mathbb{R}\) en escalier et impaire. On a :

\[\begin{align*} \int_{-a}^{a} \psi(x) \, dx &= \int_{-a}^{0} \psi(x) \, dx + \int_0^a \psi(x) \, dx \\ &= -\int_0^a \psi(x) \, dx + \int_0^a \psi(x) \, dx \\ &= 0. \end{align*}\]

Exercice 5

On note encore \(E\) la fonction partie entière.

1. Montrer que la fonction définie sur \([0; 4]\) par \(F(x) = \int_0^x E(t) \, dt\) est continue.
2. La fonction \(F\) est-elle dérivable sur \([0; 4]\) ?

Corrigé

Pour \(x \in [0, 1]\), une subdivision adaptée à \(F\) est \((0,x)\).

Pour \(x \in [1, 2]\), une subdivision adaptée à \(F\) est \((0,1,x)\).

Pour \(x \in [2, 3]\), une subdivision adaptée à \(F\) est \((0,1,2,x)\).

Pour \(x \in [3, 4]\), une subdivision adaptée à \(F\) est \((0,1,2,3,x)\).

Nous avons donc :

\[\begin{aligned} \text{si} \quad x \in [0,1], \quad F(x) &= 0, \\ \text{si} \quad x \in [1,2], \quad \sigma &= (0,1,x), \quad \text{et} \quad \int_0^x E(t) \, dt = 0(1) + (x-1)(1) = x-1, \\ \text{si} \quad x \in [2,3], \quad \sigma &= (0,1,2,x), \quad \text{et} \quad \int_0^x E(t) \, dt = 0(1) + 1(1) + 2(x-2) = 2x-3, \\ \text{si} \quad x \in [3,4], \quad \sigma &= (0,1,2,3,x), \quad \text{et} \quad \int_0^x E(t) \, dt = 0(1) + 1(1) + 2(1) + 3(x-3) = 3x-6. \end{aligned}\]

Exercice 6

Soit la fonction définie sur \([0; 1]\) par \(f(x) = x^2\). Montrer, en utilisant la définition que \(f\) est Riemann intégrable (on demande de ne pas simplement dire que \(f\) est continue sur \([0; 1]\), ou que \(f\) est monotone sur \([0; 1]\)). Déterminer alors \(\int_0^1 f(x) \, dx\).

Corrigé

Soit \(\epsilon > 0\) et \(n \in \mathbb{N}^*\). Prenons la subdivision à pas constant \((\frac{i}{n})_{i \in [0, n]}\). On considère les fonctions en escaliers

\[ \phi_n(x) = \left( \frac{i}{n} \right)^2 \quad \text{sur} \quad \left[ \frac{i}{n}, \frac{i+1}{n} \right[ \quad \text{et} \quad \phi_n(1) = 1, \] \[ \psi_n(x) = \left( \frac{i+1}{n} \right)^2 \quad \text{sur} \quad \left[ \frac{i}{n}, \frac{i+1}{n} \right[ \quad \text{et} \quad \psi_n(1) = 1. \]

Les fonctions \(\phi_n\) et \(\psi_n\) sont en escaliers et vérifient \(\psi_n \leq f \leq \phi_n\).

Nous avons :

\[ \begin{aligned} \int_0^1 (\phi_n(x) - \psi_n(x)) \, dx &= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \left( \frac{i+1}{n} \right)^2 - \left( \frac{i}{n} \right)^2 \right) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{i+1}{n} \right)^2 - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 = \frac{1}{n}. \end{aligned} \]

Soit \(\epsilon > 0\), on pose \(N \in \mathbb{N}^*\) tel que \(\frac{1}{N} \leq \epsilon\). Alors, \(\psi_N \leq f \leq \phi_N\) et

\[ \int_0^1 (\phi_N(x) - \psi_N(x)) \, dx = \frac{1}{N} \leq \epsilon. \]

Cela montre que \(f\) est Riemann-intégrable.

En déterminant \(\int_0^1 f(x) \, dx\), nous avons :

\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{6}. \]

Finalement, on trouve :

\[\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{3}.\]

Exercice 7

Montrer, en utilisant la définition, que si une fonction \(f\) est croissante sur un segment \([a, b]\), alors elle est Riemann-intégrable sur \([a; b]\).

Corrigé

Soit \(f\) croissante sur \([a,b]\), et soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Soit \(\sigma\) la subdivision régulière de \([a,b]\) de pas \(\frac{b-a}{n}\).

\[ \frac{b-a}{n} : \sigma = (x_i)_{i \in [0,n]} \quad \text{avec} \quad x_i = a + i\frac{b-a}{n}. \]

On pose alors, pour tout \(x \in [x_{i-1}, x_i[\), \(\psi_n(x) = f(x_{i-1})\) et \(\phi_n(x) = f(x_i)\), et on a \(\psi_n(b) = \phi_n(b) = f(b)\).

Nous avons donc les inégalités :

\[ \psi_n(x) \leq f(x) \leq \phi_n(x), \]

et

\[ \begin{aligned} \int_a^b (\phi_n(x) - \psi_n(x)) \, dx &= \sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} (f(x_i) - f(x_{i-1})) \\ &= \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a)). \end{aligned} \]

Soit \(\epsilon > 0\). On choisit \(N \in \mathbb{N}^*\) tel que \(\frac{b-a}{N} (f(b) - f(a)) \leq \epsilon\).

Nous obtenons alors

\[ \int_a^b (\phi_N(x) - \psi_N(x)) \, dx = \frac{b-a}{N} (f(b) - f(a)) \leq \epsilon. \]

Cela montre que \(f\) est Riemann-intégrable sur \([a, b]\).

Exercice 8

1. Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) la fonction définie par \(f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(f(x) = 1\) sinon. Montrer que \(f\) est intégrable et que \(\frac{1}{f}\) n’est pas intégrable.
2. Soient \([a, b]\) un intervalle non vide et \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction intégrable telle que \(\inf_{[a,b]} f > 0\). Montrer que \(\frac{1}{f}\) est intégrable.

Corrigé

Nous démontrerons l’intégrabilité de \(f\) et \(\frac{1}{f}\) en utilisant la définition de l’intégrale de Riemann et les propriétés des fonctions.

Exercice 9

Montrer que \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\) est intégrable et montrer qu’elle n’est pas réglée.

Corrigé

Nous examinerons les propriétés de \(f\) en utilisant la définition de l’intégrale de Riemann et les critères pour qu’une fonction soit réglée.

Exercice 10

Montrer que la fonction définie sur \([0; 1]\) par

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]

n’est pas Riemann-intégrable.

Corrigé

Nous utiliserons les critères d’intégrabilité de Riemann pour démontrer que \(f\) n’est pas intégrable.

Exercice 11

Soit \(f\) une fonction Riemann-intégrable sur un segment \([a, b]\).

1. Montrer que la fonction \(F : [a, b] \to \mathbb{R}\) définie par \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) est lipschitzienne.
2. En déduire la continuité de \(F\).
3. Soit \(c \in [a; b[\). Montrer que si \(\lim_{x \to c^+} f(x)\) existe, alors \(F\) est dérivable à droite en \(c\).
4. En déduire une condition suffisante sur \(f\) pour que \(F\) soit dérivable sur \([a; b]\).
5. La condition précédente est-elle nécessaire ?

Corrigé

Nous utiliserons les propriétés des fonctions lipschitziennes et les critères de continuité et de dérivabilité pour répondre à ces questions.

Exercice 12

Montrer que si \(f\) est une fonction intégrable sur \([-a; a]\) et paire, alors on a \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx\).

Corrigé

Nous utiliserons les propriétés des fonctions paires et l’intégration sur des intervalles symétriques pour démontrer cette égalité.