Intégrale de Riemann
Exemple 1
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha}\) a une intégrale convergente sur \([1, +\infty[\) si et seulement si \(\alpha > 1\).
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha}\) a une intégrale convergente sur \(]0, 1]\) si et seulement si \(\alpha < 1\).
correction
On a : \[ \int_{1}^{x} \frac{dt}{t^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{\alpha-1}(1 - x^{1-\alpha}), & \text{si } \alpha \neq 1 \\ \ln(x), & \text{si } \alpha = 1 \end{cases} \]
Ainsi, cette intégrale admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si \(\alpha > 1\).
De même, on a : \[ \int_{x}^{1} \frac{dt}{t^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha}(1 - x^{1-\alpha}), & \text{si } \alpha \neq 1 \\ -\ln(x), & \text{si } \alpha = 1 \end{cases} \]
Cette intégrale admet une limite finie en 0 si et seulement si \(\alpha < 1\).
Ce résultat implique directement le suivant. Soit \(a < b\) deux réels. Alors on a : \[ \int_{a}^{b} \frac{dt}{(b - t)^\alpha} < +\infty \iff \alpha < 1. \]
Intégrale de Bertrand
Exemple 2
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha \ln(t)^\beta}\) a une intégrale convergente sur \([e, +\infty[\) si et seulement si \(\alpha > 1\) ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
- La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha |\ln(t)|^\beta}\) a une intégrale convergente sur \(]0, \frac{1}{e}]\) si et seulement si \(\alpha < 1\) ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
correction
Montrons (1). Si \(\alpha > 1\), alors il existe \(\gamma > 0\) tel que \(1 < \gamma < \alpha\). On a alors : \[ \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta} = o \left( \frac{1}{t^\gamma} \right), \] et donc la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta}\) a une intégrale convergente sur \([e, +\infty[\).
Si \(\alpha = 1\), posons \(u = \ln t\). Alors pour \(x \in [e, +\infty[\) on a : \[ \int_{e}^{x} \frac{dt}{t (\ln t)^\beta} = \int_{1}^{\ln x} \frac{du}{u^\beta} = \begin{cases} \frac{1}{\beta - 1} (1 - (\ln x)^{1-\beta}), & \text{si } \beta \neq 1 \\ \ln (\ln x), & \text{si } \beta = 1 \end{cases} \]
D’où le résultat.
Montrons (2). Supposons \(\alpha < 1\). Alors pour \(\gamma\) tel que \(\alpha < \gamma < 1\), on a : \[ \frac{1}{t^\alpha |\ln t|^\beta} = o \left( \frac{1}{t^\gamma} \right), \] d’où le résultat étant donné que l’intégrale sur \([0, 1]\) de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\gamma}\) est convergente.
De même que pour le cas (i), on trouve : \[ \int_{e}^{1} \frac{dt}{t |\ln t|^\beta} = \int_{-\ln x}^{1} \frac{du}{| u |^\beta}, \] d’où le résultat.
Exercices
Exercice 1
Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(\beta \in \mathbb{R}\). Déterminer l’ensemble des couples \((\alpha, \beta)\) pour lesquels l’intégrale généralisée \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{\alpha}}{1+t^{\beta}}dt \] est convergente.
Soit \(f\) une fonction intégrable sur tout intervalle borné de \(\mathbb{R}\) telle que : \[ \lim_{t \to +\infty} f(t)=l \quad \text{et} \quad \lim_{t \to -\infty}=l' \] Calculer \[ \int_{-\infty}^{+\infty}(f(t+1)-f(t)) dt \]
Corrigé
- On distingue deux points de singularités :
- En \(+\infty\), la condition sur \(\alpha\) et \(\beta\) est \(\beta - \alpha > 1\).
- En \(0\), la condition sur \(\alpha\) et \(\beta\) est \(\alpha > 1\). L’ensemble cherché est donc : \(\{ (\alpha, \beta) / \alpha > 1 \text{ et } \beta > 1 + \alpha \}\).
- En notant \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\) pour \(x > 0\) et en utilisant le théorème des accroissements finis, on a : \[ \int_0^x \big(f(t+1) - f(t)\big) dt = \big[F(t+1) - F(t)\big]_0^x = F(x+1) - F(x) - F(1) = f(c_x) - F(1), \] où \(c_x \in ]x, x+1[\).
Et en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\), on en déduit que : \[ \int_0^{+\infty} \big(f(t+1) - f(t)\big) dt = F(1) - l. \]
De manière analogue, on vérifie que : \[ \int_{-\infty}^0 \big(f(t+1) - f(t)\big) dt = l' - F(1), \] et \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \big(f(t+1) - f(t)\big) dt = 1 - l - l'. \]
Exercice 2
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^{3/2}} \, dt \]
Corrigé
\(f\) est continue et positive sur \([0, +\infty[\). \(\forall t \in [1, +\infty[\),
\[ f(t)= \frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{1}{(t^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^3} \]
Or \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^3} \, dt\) converge car on reconnait une intégrale de Riemann (\(\alpha = 3 > 1\)).
Par comparaison : \(\int_{1}^{+\infty}f\) converge et comme \(f\) est prolongeable par continuité sur \([0,1]\), \(\int_{0}^{+\infty}f\) converge.
Exercice 3
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^{+\infty} t |\cos t|^3 \, dt \]
Corrigé
Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb R\), \(t\) associe à \(t |\cos t|^3\).
\(f\) est continue et positive sur \([0, +\infty[\).
\(\forall t \in [1, +\infty[\),
\[ t |\cos t|^3 \geq |cos t|^3 \]
\[ \begin{align*} \int_0^{\pi}|\cos t|^3 \, dt &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^3 \, dt \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(t) - \sin (t)^2 \cos(t)) \, dt \\ &= 2[ \sin(t) + \frac{1}{3} \sin(t)^3]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{2}{3} \end{align*} \]
Soit \(n \in \mathbb N^{*}\). Par la relation de Chasles
\[ \int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \, dt = (\frac{2}{3})n \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \, dt \quad \to \infty \]
Alors, \[ \int_0^{n\pi}|\cos t|^3 \quad \text{diverge} \]
Donc, par comparaison : \[ \int_0^{+\infty} t |\cos t|^3 \quad \text{diverge} \]
Exercice 4
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt, \quad \alpha \in \mathbb{R} \]
Corrigé
\(\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt\)
Si \(\alpha \leq 0\), \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt\), \(\alpha \in \mathbb{R}\) diverge en \(+\infty\).
Si \(\alpha > 1\), \(\frac{\sin (t)}{t^{\alpha}} \leq \frac{1}{t^{\alpha}}\).
On a \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}\) converge donc \(\int_0^1 \frac{|\sin(t)|}{t^\alpha} \, dt\) converge (par le théorème de comparaison) donc \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt\) converge (par le théorème de convergence absolue).
Si \(\alpha = 1\), soit \(X \geq 1\),\(\int_0^{X}\frac{\sin(t)}{t}\,dt\). En éffectuant une intégration par partie,
\[ \begin{align*} \int_0^{X}\frac{\sin(t)}{t} \, dt &= [\frac{-\cos t}{t}]_{1}^{X} - \int_0^{X}\frac{\cos(t)}{t^2} \, dt \\ &= \frac{-\cos X}{X} + \cos(1) - \int_0^{X}\frac{\cos(t)}{t^2} \, dt \\ \end{align*} \]
et \(| \frac{-\cos X}{X}| \leq \frac{1}{|X|}\) qui tend vers 0 en \(+\infty\).
De plus, \(\int_1^{X}\frac{\cos(t)}{t^2} \, dt\) converge absolument majorée par l’intégrale de Riemman (\(\alpha = 2\)).
Ainsi, \[ \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt \quad \text{converge si} \quad \alpha =1 \]
Si \(0 < \alpha < 1\), soit \(X \geq 1\),\(\int_0^{X}\frac{\sin(t)}{t}\,dt\). Aussi par Ipp,
\[ \begin{align*} \int_0^{X}\frac{\sin(t)}{t^{\alpha}} \, dt &= [\frac{-\cos t}{t^{\alpha +1}}]_{1}^{X} -\int_0^{X}\frac{\cos(t)}{t^{\alpha +1}} \, dt \\ &= \frac{-\cos X}{X^{\alpha +1}} + \cos(1) - \int_0^{X}\frac{\cos(t)}{t^{\alpha +1}} \, dt \\ \end{align*} \]
et \(| \frac{-\cos X}{X^{\alpha +1}}| \leq \frac{1}{|X^{\alpha +1}|}\) qui tend vers 0 en \(+\infty\).
De plus, \(\int_1^{X}\frac{\cos(t)}{t^2} \, dt\) converge absolument majorée par l’intégrale de Riemman (\(a = \alpha +1\)).
Donc y’a convergence.
\(\int_0^{1} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt\)
Si \(\alpha \leq 0\), \(t \to \frac{\sin(t)}{t^{\alpha}}\) est continue sur \([0,1]\).
Si \(\alpha > 0\) , \(\forall t \in ]0, 1]\), \(\frac{\sin(t)}{t^{\alpha}} > 0\) . Par un dl au voisinage de \(0\).
\[ \sin t \underset{0}{\sim} t \]
\[ \frac{\sin(t)}{t^{\alpha}} {\sim} \frac{t}{t^{\alpha}} = \frac{1}{t^{\alpha -1}} \] or, \(\int_0^{1} \frac{\sin(t)}{t^{\alpha -1}} \, dt\) converge ssi \(\alpha < 2\).
Donc, par un théorème du cours, \[ \int_0^{1} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt \quad \text{converge ssi} \quad \alpha < 2 \]
En conclusion : \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^\alpha} \, dt \quad \text{converge ssi} \quad \alpha \in ]0, 2[\).
Exercice 5
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^\infty \frac{\cosh t -\cos t}{t^{5/2}} \, dt \]
Corrigé
Problème en \(0\). Le DL au voisinage de \(0\)
\[ \cosh t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \mathcal{o}(t^3) \] \[ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} - \mathcal{o}(t^3) \] \[ \begin{align*} \frac{\cosh t -\cos t}{t^{5/2}} &= \frac{1 + \frac{t^2}{2!} -1 + \frac{t^2}{2!}}{t^{\frac{5}{2}}} + \mathcal{o}(t^2) \\ &= \frac{t^2}{t^{\frac{5}{2}}} + \mathcal{o}(t^2) \\ &= \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + \mathcal{o}(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) \\ \end{align*} \]
Or \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t}} + \mathcal{o}(\frac{1}{\sqrt(t)})\) converge donc \[ \int_0^\infty \frac{\cosh t -\cos t}{t^{5/2}} \, dt \quad \text{converge.} \]
Exercice 6
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^3}} \]
Corrigé
Problème en 1,
\[ \frac{1}{\sqrt{1-t^3}}= \frac{1}{\sqrt{(1-t)(1+t+t^2)}} \] On ne touche pas \(1-t\), par contre \(1+t+t^2\) tend vers \(3\) lorsque \(t \to 1\).
Comme \(\int_0^1 \frac{dt}{(1-t)^{\frac{1}{2}}}\) converge, par comparaison \(\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^3}}\) converge.
Exercice 7
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1} \, dt \]
Corrigé
Etude en \(0\),
\[ 0 \leq \frac{\ln t}{t^2-1} \underset{0}{\sim}-\ln(t) \] Or, \(\int_0^1 \ln t \, dt\) c’est une intégrale impropre (en 0). Et de plus $x^1* t , dt =-[tt - t]{x}^{1} $ qui tend vers \(1\) quand \(x\) tend vers \(0\).
Donc \(\int_0^\frac{1}{2} -\ln t \, dt\) converge; par comparaison \(\int_0^\frac{1}{2} \frac{\ln t}{t^2-1} \, dt\) converge.
Etude en \(1\),
Par un changement de variable \(t = 1-x\).
\[ \ln(t) = \ln(1-x) \underset{0}{\sim} -x \] Donc \(\frac{\ln t}{t^2-1} \underset{1}{\sim}-\frac{t-1}{t^2-1} = \frac{1}{t+1}\). Comme la fonction \(t \to \frac{\ln(t)}{t^2-1}\) est prolongeable par continuité en \(1\).
Donc, \(\int_\frac{1}{2}^1 \frac{\ln t}{t^2-1} \, dt\) converge.
Donc, \(\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1} \, dt\) converge.
Remarque : l’intégrale était impropre sur deux points c’est pour cela y’a le \(1/2\).
Exercice 8
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \frac{t}{e^t-1} \, dt \]
Corrigé
Etude en \(\infty\),
Posons \(f(t) = \frac{t}{e^t -1}\) avec \(t\) dans \([0, \infty[\).
\[ t^2 f(t) = \frac{t^3}{e^t -1} \underset{\infty}\sim{} \frac{t^3}{e^t} \underset{\infty}\longrightarrow{} 0 \]
Donc \(f(t) = \mathcal{o}(\frac{1}{t^2})\). On a bien convergence de \(\int_{a}^{\infty}f(t) \, dt\) avec \(a > 0\).
Etude en \(0\),
Un prolongement par continuité de \(f\) en \(0\) assure la convergence de l’intégrale.
Exercice 9
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_a^b \frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}} \]
Corrigé
Etude en \(a\),
\[ \frac{1}{\sqrt{(t-a)(b-t)}} = \frac{1}{\sqrt{t-a}\sqrt{b-t}} = \frac{1}{(t-a)^\frac{1}{2}\sqrt{b-t}} \underset{a}\sim{} \frac{1}{(t-a)^\frac{1}{2}\sqrt{b-a}} \]
donc par comparaison \(\int_a^b \frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}\) converge en \(a\).
Etude en \(b\),
\[ \frac{1}{\sqrt{(t-a)(b-t)}} = \frac{1}{\sqrt{t-a}\sqrt{b-t}} = \frac{1}{(b-t)^\frac{1}{2}\sqrt{b-a}} \underset{a}\sim{} \frac{1}{(b-t)^\frac{1}{2}\sqrt{b-a}} \]
donc par comparaison \(\int_a^b \frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}\) converge en \(b\).
Exercice 10
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_1^{\sqrt{2}} \frac{dx}{x\sqrt{-x^4 + 3x^2 - 2}} \]
Corrigé
Etude en 1,
\[ \frac{1}{x\sqrt{-x^4 + 3x^2 - 2}} = \frac{1}{x\sqrt{(x-1)(2+2x-x^2 -x^3)}} \sim{} \frac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{2}} \] \(\int_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) converge donc \(\int_1^{c} \frac{dx}{x\sqrt{-x^4 + 3x^2 - 2}}\). Et pareil en \(\sqrt{2}\).
Exercice 11
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \frac{\arcsin(\sqrt{x})}{(1-x)^{3/2}} \, dx \]
Corrigé
On a un problème en \(1\) mais pas en \(0\) (c’est définie et continue).
Etude en 1,
\[ \arcsin(\sqrt x) \underset{1}\sim{} \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \]
Donc \(\frac{\arcsin(\sqrt x)}{(1-x)^{3/2}} \underset{1}\sim{} \frac{\frac{\pi}{2}}{(1-x)^{3/2}}\). Or, \(\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{3/2}} \, dx\) est divergente car c’est une intégrale de Riemann avec \(\alpha >1\).
Alors \(\int_0^1 \frac{\arcsin(\sqrt{x})}{(1-x)^{3/2}} \, dx\) diverge par un théorème du cours car deux fonctions équivalentes de même signe convergent ou divergent en même temps.
Exercice 12
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^\infty \frac{\sin t}{\sqrt{t + \cos t}} \, dt \]
Corrigé
Exercice 13
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \ln(t) \sin\left(\frac{1}{t}\right) \, dt \]
Corrigé
Exercice 14
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_1^\infty \frac{(\ln t) \cos t}{t^{3/2}} \, dt \]
Corrigé
Exercice 15
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 (\sin(x)) \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \, dx \]
Corrigé
Exercice 16
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^\infty \sqrt{t} \cos(t^2) \frac{dt}{e^t-1} \]
Corrigé
Exercice 17
Étudier la convergence de l’intégrale suivante : \[ \int_0^\infty \frac{1}{t^2} \sin\left(\frac{1}{t^2}\right) \, dt \]
Corrigé
Indication