Exercice 1
Les fonctions suivantes sont-elles en escalier sur \(I\) ?
\(I = [0; 1]\) et \(f(x) = x^2\).
\(I = [-1; 1]\) et \(f(x) = 0\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\).
\(I = [1; 5]\) et \(f(x) = \lfloor \sqrt{x} \rfloor\).
\(I = \left[\frac{1}{5}; 1\right]\) et \(f(x) = \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\).
\(I = [0; 1]\) et \(f(x) = \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\).
Corrigé pour 1
Par absurde, si \(f\) était en escallier, il existerait une subdivision \(\sigma = \{x_0=0, x_1, ..., x_n=1\}\) avec \(f\) constante sur \(]0, x_1[\). Mais \(f\) est strictement croissante sur \(]0, x_1[\) donc n’est pas constante sur \(]0, x_1[\). D’ou \(f\) n’est pas en escalier sur \(]0, 1[\).
Corrigé pour 2
Prendre \(\sigma = \{-1, 0, 1\}\); en effet,
On a donc \(f(x) =0\) \(\forall\) \(x \in ]-1,0[\) et \(f(x) =0\) \(\forall\) \(x \in ]0,1[\).
D’ou \(f\) est en escalier car \(\exists\) \(\sigma = \{-1, 0, 1\}\).
Corrigé pour 3
On définit la subdivision \(\sigma = \{1, 4, 6\}\). En éffet, \(f(x)=1\) si \(x \in ]1,4[\) et \(f(x)=2\) si \(x \in ]4,5[\). Car \(x \leq E(x) < x+1\) ce qui implique que \(\sqrt{x} \leq \sqrt{E(x)} < \sqrt{x}+1\). Donc, comme il existe une subdivision \(\sigma = \{1, 4, 6\}\). Alors, on peut dire que \(f\) est en escalier.
Corrigé pour 4
On définit la subdivision \(\sigma = \{\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,\}\). En effet, on a si \(x \in ]\frac{1}{5},\frac{1}{4}[\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{x} \in ]4, 5[\), donc \(E[\frac{1}{x}]=4\) . Ainsi de suite.
\[ E[\frac{1}{x}] = \begin{cases} 4 & \text{si } x \in ]4; 5[ \\ 3 & \text{si } x \in ]3; 4[ \\ 2 & \text{si } x \in ]2; 3[ \\ 1 & \text{si } x \in ]1; 2[ \end{cases} \]
Donc, \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{si } x \in \ ]\frac{1}{5}; \frac{1}{4}[ \\ \frac{1}{3} & \text{si } x \in \ ]\frac{1}{4}; \frac{1}{3}[ \\ \frac{1}{2} & \text{si } x \in \ ]\frac{1}{3}; \frac{1}{2}[ \\ 1 & \text{si } x \in \ ]\frac{1}{2}; 1[ \end{cases}\]
Corrigé pour 5
\[ f(x)= \begin{cases} E[\frac{1}{x}] & \text{si} \ x \neq 0 \\ 0 & \text{si} \ x =0 \end{cases}\] On montre que \(f\) n’est pas en escalier sur \(I\) par absurde. Supposons que \(f\) est en escalier, alors il existe une subdivision \(\sigma=\{x_0=0, x_1, ..., x_n=1\}\) telque \(f\) est constante sur chaque intervalle \(]x_i, x_{i+1}[\), \(\forall i \in [|0, n-1 |]\).
On sait que \(\forall x_1 \in ]0, 1[\). On peut trouver \(p \in \mathbb N^*\), \(\frac{1}{p} < x_1 \Leftrightarrow p > \frac{1}{x_1}\). Ainsi, \[ 0 < \frac{1}{p+1}< \frac{1}{p}<x_1\]
\(f(\frac{1}{p+1})= E[p+1]= p+1\) \(\text{et} \quad f(\frac{1}{p})=E[p]=p\)
Et donc sur \(]0, x_1[\) \(f(\frac{1}{p+1}) \neq f(\frac{1}{p})\)
donc pas constante.
Alors \(f\) n’est pas en escalier sur \([0,1]\).
Exercice 2
Soit \(f : [0, 3] \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = (x-1)(x-2)\). Trouver une fonction en escalier sur \([0, 3]\) qui vérifie \(|\Phi(x) - f(x)| \leq \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in [0, 3]\).
Corrigé
on a : \(f(x)= (x-1)(x-2)=x^2-3x +2\) donc \(f'(x)=2x-3\) donc \(-3 \leq f'(x) \leq 3\)
(car \(f'(3)=3\) et soit \(|f'(x)| \neq 3\)).
Donc, pour tout \((x_1,x_2) \in [0,3]^2.\)
\[| f(x_1)-f(x_2)| \leq 3 |x_1-x_2|\]
En prenant \(\sigma = \{0, \frac{1}{6},\frac{2}{6}, ... , \frac{18}{6} \}\) et \(\phi (x) = f(\frac{K}{6})\), \(\forall x \in [\frac{k}{6},\frac{k+1}{6}]\) et \(|f(x)-\phi(x)| \leq \frac{1}{2}\) , \(\forall x \in [0,3]\).
D’ou,
\[ \phi (x) = f(\frac{K}{6}),\ \forall x \in [\frac{k}{6},\frac{k+1}{6}] \]
Exercice 3
Soit \(a < b\). Démontrer que si \(f\) est en escalier sur \([a; b]\) et ne s’annule pas, alors \(\frac{1}{f}\) est en escalier sur \([a; b]\).
Corrigé
Soit \(a<b\), \(f\) est en escalier donc il existe une subdivision \(\sigma = \{x_0=a, x_1, ..., x_n=b\}\) et \(f\) est constante sur chaque intervalle \(]x_i, x_i+1[\) , \(\forall i \in [|0, n-1|]\) et \(f\) est constante donc supposons que \(f(x)=\lambda_i\).
Comme \(\lambda_i \neq 0\), \(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\lambda_i}\), \(\forall x \in ]x_i, x_i+1[\).
Donc, \(\frac{1}{f}\) est en escalier sur \([a,b].\)
Exercice 4
Tout nombre \(x \in [0, 1[\) admet une écriture décimale propre unique \(0, a_1a_2a_3\ldots\). On note \(u_x\) la première décimale \((a_1)\) après la virgule dans l’écriture de \(x\). Soit \(\Phi : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(\Phi(x) = u_x\) pour \(x \in [0, 1[\) et \(\Phi(1) = 0\). Montrer que \(\Phi\) est une fonction en escalier.
Corrigé
Soit $(i) =(*){i } $ une subdivision de \([0, 1]\). Ainsi, \(\forall x \in [\frac{i}{10}, \frac{i+1}{10}[\) avec $i , on a :
\[ 0,i \leq x < 0,(i+1)\]
Alors, \[ \phi(0,i) \leq \phi(x) < \phi(0,(i+1)) \quad \Rightarrow i \leq \phi(x) < i+1 \]
Donc, \(\phi(x)=i\) qui est une constante car \(i \in [0,9]\). Puisque \(\phi\) est constante sur chacun des intervalles \(]\frac{i}{10}, \frac{i+1}{10}[\), \(\forall i \in [0,9]\), alors \(\phi\) est en escalier su r \([0,1]\).
Exercice 5
La composée de deux fonctions continues par morceaux est-elle forcément continue par morceaux ?
Corrigé
Considerons les fontions \(f: [0,1] \to \mathbb R\) et \(g:]0, +\infty[ \to \mathbb R\) données par
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si} \quad x \in \ ]0,1] \\ 1 & \text{si}\quad x = \ 0 \\ \end{cases}\]
et \[g(x)= \frac{1}{x}\]
La fonction \(f\) est continue par morceaux sur \([0,1]\), la fontion \(g\) est est continue par morceaux sur \(]0, +\infty[\) . La composée \(g \circ f\) est correctement définie sur \([0,1]\) mais n’est pas continue par morceaux sur \([0,1]\) (car non bornée). Donc non !
Exercice 6
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1; 1]\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} -2x - 1 & \text{si } x \in ]-1; 0[ \\ x^2 & \text{si } x \in ]0; 1[ \\ 0 & \text{si } x \in \{-1; 1\} \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \]
Déterminer une fonction continue \(g\) et une fonction en escalier \(\phi\) sur \([-1; 1]\) telles que \(f = g + \phi\).
Corrigé
\(f = g + \phi \quad \Leftrightarrow \quad f-g = \phi \ \in \mathcal{ E}(\mathbb R, \mathbb R)\).
Sur $ -1 x < 0$ , \(f(x)-g(x) = c\) , donc $g(x) = -2x-1-c $
Sur \(0 < x \leq 1\) , $f(x)-g(x) = d $, donc \(g(x)= x^2 -d\).
Limite en \(0\) : \(\lim_{x \to 0^{-}} \, g(x) = -1- c\) et \(\lim_{x \to 0^{+}} , g(x) = d\). Donc, \(d = 1 + c\) puisque la fonction \(g\) est continue, ainsi \(c = -\frac{1}{2}\) et \(d = \frac{1}{2}\),
\[ \phi(x) = \begin{cases} c & \text{si} \quad x \ \in \ ]-1, 0[ \\ d & \text{si} \quad x \ \in \ ]0, 1] \\ \end{cases}\]
\[ g(x) = \begin{cases} -2x -\frac{1}{2} & \text{si} \quad x \ \in \ [-1, 0] \\ x^2 -\frac{1}{2} & \text{si} \quad x \ \in \ [0, 1] \\ \end{cases}\]
Exercice 7
Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x\). Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Trouver deux fonctions en escalier \(\Phi\) et \(\Psi\) sur \([0, 1]\) telles que \(\Phi \leq f \leq \Psi\) et \(f(x) - \Phi(x) \leq \frac{1}{n}\) et \(\Psi(x) - f(x) \leq \frac{1}{n}\) pour tout \(x \in [0, 1]\).
Corrigé
Exercice 8
- Montrer que les fonctions réglées sur un segment sont forcément bornées.
Corrigé
Supposons que \(f\) est réglée alors pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(\phi \in \mathcal{E} \ ([a,b])\), pour tout \(x\) dans \([a,b]\) , \(| f(x)-\phi(x)| < 1.\)
Comme \(\phi\) est bornée, alors \(f\) l’est aussi.
Exercice 9
Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(f(0) = 1\) et \(f(x) = x\lfloor \frac{1}{x} \rfloor\) pour tout \(x \in ]0, 1]\).
- Donner la formule de \(f\) sur chaque intervalle \(] \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n}]\), \(n \in \mathbb{N}^*\). Quelle est l’image de cet intervalle par \(f\) ?
- Soit \(\epsilon > 0\). Trouver \(N\) tel que \(|1 - f| < \epsilon\) sur \([0, \frac{1}{N}]\).
- Avec les notations de (2), montrer qu’il existe une fonction \(\Phi\) en escalier sur \([\frac{1}{N}, 1]\) telle que \(|\Phi - f| < \epsilon\) sur cet intervalle.
- En déduire que \(f\) est réglée.
Corrigé
Exercice 10
Montrer que \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\) n’est pas réglée.