Polynomes minimales

Exercice 1

Soit \(\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)\) dont la matrice est définie par

\[M(\varphi) = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.\]

1. Déterminer les éléments propres de \(M(\varphi)\).

2. Trouver le polynôme minimal.

3. Indiquer la forme réduite \(M^*\) de \(M\).

4. Donner l’expression de \(M^*\) en fonction de \(M\). En déduire par un calcul simple l’inverse de \(M\).

Exercice 2

Soit \(E\) l’espace vectoriel réel \(\mathbb{R}^4\) rapporté à sa base canonique \(\mathbb{B}_0 = (e_1, e_2, e_3, e_4)\). Soit \(m\) un réel non nul et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice relative à \(\mathbb{B}_0\) est

\[A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1 & 0 \\ 1 & m & 0 & -1 \\ 1 & 0 & m & -1 \\ 0 & -1 & 1 & m \end{pmatrix}.\]

1. Vérifier que :
   1. \(\varphi\) admet une réciproque.
   2. \(m\) est une valeur propre de \(\varphi\) ; préciser sa multiplicité.
2. Calculer le rang de la matrice \(A - mI_4\) (\(I_4\) étant la matrice unité d’ordre 4). En déduire que :
   1. \(\varphi\) n’est pas diagonalisable.
   2. Le sous-espace propre \(E_m\) associé à \(m\) est de dimension 2 ; en donner une base.
3. On considère une base \(\{V, W\}\) de \(E_m\) et on désigne par \(I\) l’identité de \(E\).
   1. Trouver deux vecteurs \(V'\) et \(W'\) de \(E\) vérifiant : \[(\varphi - mI)(V') = V \quad \text{et} \quad (\varphi - mI)(W') = W.\]
   2. Établir que \(\mathcal{V} = \{V, V', W, W'\}\) est une base de \(E\).
   3. Donner la matrice \(A^*\) de \(\varphi\) relative à \(\mathcal{V}\) et vérifier qu’elle s’écrit \(A^* = mI + N\) avec \(N\) matrice carrée vérifiant \(N^2\) nulle. En déduire que le polynôme minimal de \(\varphi\) est \(q_\varphi(X) = (X - m)^2\).
   4. Calculer \(A^{-1}\), l’inverse de \(A\) et les puissances \(A^p, (A^{-1})^p\).

Exercice 3

Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\mathbb{R})\) suivante :

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \((A - 2I_3)^2\), puis \((A - 2I_3)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). En déduire \(A^n\).

Exercice 4

La suite de Fibonacci \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\) est la suite \((u_n)_n\) définie par la relation de récurrence :

\[u_{n+1} = u_n + u_{n-1} \quad \text{pour} \quad n \geq 1,\] avec \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1\).

1. Déterminer une matrice \(A \in M_2(\mathbb{R})\) telle que, pour tout \(n \geq 1\)

\[ \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} u_1 \\ u_0 \end{pmatrix}. \]

2. Montrer que \(A\) admet deux valeurs propres réelles distinctes que l’on note \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) avec \(\lambda_1 < \lambda_2\).

3. Trouver des vecteurs propres \(V_1\) et \(V_2\) associés aux valeurs propres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), sous la forme \(V_i = (\alpha, 1)\), avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).

4. Déterminer les coordonnées du vecteur \((u_1, u_0)\) dans la base \((V_1, V_2)\), on les note \(x_1\) et \(x_2\).

5. Montrer que \((u_{n+1}, u_n) = \lambda_1 x_1 V_1 + \lambda_2 x_2 V_2\). En déduire que

\[u_n = \frac{\lambda_1^n}{\lambda_1 - \lambda_2} - \frac{\lambda_2^n}{\lambda_1 - \lambda_2}.\]

6. Donner un équivalent de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.

Exercice 5

1. Calculer \(u_n\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) sachant :

\[ \begin{cases} u_0 = 1, & u_1 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, & \begin{cases} u_{2n+1} = u_{2n} + u_{2n-1} \\ u_{2n} = u_{2n-1} + 2u_{n-2} \end{cases} \end{cases} \]

2. Soient \(u_0 > 0, u_1 > 0\) et \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

\[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2} = \frac{2}{\frac{1}{u_{n+1}} + \frac{1}{u_n}}. \]

Calculer \(u_n\), puis \(\lim u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.