Formes quadratiques

Exercice 1

Pour les formes quadratiques suivantes, déterminer une décomposition de Gauss et en déduire le noyau, le rang et la signature.

  1. \(\varphi(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 8x_3^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3\).
  2. \(\varphi(x_1, x_2, x_3, x_4) = 4x_1x_2 + 8x_1x_3 + 24x_2x_3 - 24x_2x_4\).
  3. \(\varphi(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy - 4xz - 6yz\).
  4. \(\varphi(x, y, z) = xy + xz\).
  5. \(\varphi(x, y, z, t) = xy + 2xz + xt + 2yt + 4zt\).
  6. \(\varphi(x, y, z, t) = x^2 + (4 + \lambda)y^2 + (1 + 4\lambda)z^2 + \lambda t^2 + 4xy + 2xz + 4(1 - \lambda)yz + 2\lambda yt + (1 - 4\lambda)zt\).
Corrigé

Pour chaque forme quadratique, nous effectuerons une décomposition de Gauss pour trouver les éléments demandés.

  1. \(\varphi_1(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 8x_3^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_1(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2 + 2x_3)^2 + x_2^2 + 4x_2x_3 + 4x_3^2 = (x_1 - x_2 + 2x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2\).
    • Noyau : \(\text{ker}(\varphi_1)\) est engendré par \((4, 2, -1)\).
    • Rang : \(\text{rg}(\varphi_1) = 3 - 1 = 2\).
    • Signature : \(\text{sgn}(\varphi_1) = (2, 0)\).
  2. \(\varphi_2(x_1, x_2, x_3, x_4) = 4x_1x_2 + 8x_1x_3 + 24x_2x_3 - 24x_2x_4\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_2(x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_1 - x_2 - 2x_3)^2 + \frac{1}{6}(x_2 + x_3 - x_4)^2 - \frac{1}{6}(x_2 - x_3 + x_4)^2\).
    • Noyau : \(\text{ker}(\varphi_2) = \{0\}\).
    • Rang : \(\text{rg}(\varphi_2) = 4\).
    • Signature : \(\text{sgn}(\varphi_2) = (2, 2)\).
  3. \(\varphi_3(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy - 4xz - 6yz\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_3(x, y, z) = (x + y - 2z)^2 + (y - z)^2 - 3z^2\).
    • Noyau : \(\text{ker}(\varphi_3) = \{0\}\).
    • Rang : \(\text{rg}(\varphi_3) = 3\).
    • Signature : \(\text{sgn}(\varphi_3) = (2, 1)\).
  4. \(\varphi_4(x, y, z) = xy + xz\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_4(x, y, z) = \frac{1}{4}(x + y + z)^2 - \frac{1}{4}(x - y - z)^2\).
    • Noyau : \(\text{ker}(\varphi_4)\) est engendré par \((0, 1, -1)\).
    • Rang : \(\text{rg}(\varphi_4) = 2\).
    • Signature : \(\text{sgn}(\varphi_4) = (1, 1)\).
  5. \(\varphi_5(x, y, z, t) = xy + 2xz + xt + 2yt + 4zt\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_5(x, y, z, t) = \frac{1}{4}(x + y + 2z + 3t)^2 - \frac{1}{4}(x - y - 2z + t)^2 - 2t^2\).
    • Noyau : \(\text{ker}(\varphi_5)\) est engendré par \((0, -2, 1, 0)\).
    • Rang : \(\text{rg}(\varphi_5) = 3\).
    • Signature : \(\text{sgn}(\varphi_5) = (1, 2)\).
  6. \(\varphi_6(x, y, z, t) = x^2 + (4 + \lambda)y^2 + (1 + 4\lambda)z^2 + \lambda t^2 + 4xy + 2xz + 4(1 - \lambda)yz + 2\lambda yt + (1 - 4\lambda)zt\).
    • Décomposition de Gauss : \(\varphi_6(x, y, z, t) = (x + 2y + z)^2 + \lambda(y - 2z + t)^2 + \frac{1}{4}(z + t)^2 - \frac{1}{4}(z - t)^2\).
    • Discussion :
      • Si \(\lambda = 0\), alors \(\varphi(x, y, z, t) = (x + 2y + z)^2 + \frac{1}{4}(z + t)^2 - \frac{1}{4}(z - t)^2\).
        • Noyau : \(\text{ker}(\varphi) = \text{vect}((-2, 1, 0, 0))\).
        • Rang : \(\text{rg}(\varphi) = 3\).
        • Signature : \(\text{sgn}(\varphi) = (2, 1)\).
      • Si \(\lambda > 0\) :
        • Noyau : \(\text{ker}(\varphi) = \{0\}\).
        • Rang : \(\text{rg}(\varphi) = 4\).
        • Signature : \(\text{sgn}(\varphi) = (3, 1)\).
      • Si \(\lambda < 0\) :
        • Noyau : \(\text{ker}(\varphi) = \{0\}\).
        • Rang : \(\text{rg}(\varphi) = 4\).
        • Signature : \(\text{sgn}(\varphi) = (2, 2)\).

Exercice 2

Soit \(\varphi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) la forme quadratique définie par :

\[ \varphi(x, y, z, t) = xy + 2xz + 2xt + yz + 4yt + 2zt, \forall (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4. \]

  1. Quelle est la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) ?
  2. Donner une réduction de Gauss en précisant une base de \(\mathbb{R}^4\) orthogonale pour \(\varphi\) et la matrice de \(\varphi\) dans cette base.
Corrigé
  1. La matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) est :

\[ \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

  1. Réduction de Gauss :

\[ \varphi(x, y, z, t) = (x + z + 4t)(y + 2z + 2t) - (z + 4t)(2z + 2t) + 2zt = \frac{1}{4}(x + y + 3z + 6t)^2 - \frac{1}{4}(x - y - z + 2t)^2 - 2(z + 2t)^2. \]

Les formes linéaires \(l_1(x, y, z, t) = x + y + 3z + 6t\), \(l_2(x, y, z, t) = x - y - z + 2t\) et \(l_3(x, y, z, t) = z + 2t\) sont linéairement indépendantes.

La signature de \(\varphi\) est \((1, 2)\) et le rang est \(3\).

Une base orthogonale pour \(\varphi\) est \((u_1, u_2, u_3, u_4)\) avec \(u_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(u_2 = (1, -1, 0, 0)\), \(u_3 = (1, 2, -1, 0)\) et \(u_4 = (2, -2, 2, -1)\).

La matrice de \(\varphi\) dans cette base est :

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Exercice 3

On considère la forme bilinéaire \(\varphi : \mathbb{R}^4 \times \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) suivante :

\[ \varphi(x, y) = x_1y_2 + x_2y_1 - 3x_1y_3 - 3x_3y_1 - 3x_2y_4 - 3x_4y_2 + x_3y_4 + x_4y_3, \forall x, y \in \mathbb{R}^4. \]

  1. Écrire la matrice de \(\varphi\) relativement à la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) et préciser le rang de \(\varphi\). Quel est son noyau ?
  2. Donner la forme quadratique \(\varphi\) associée.
  3. Donner une réduction de Gauss en précisant une base \(\varphi\)-orthogonale et la signature de \(\varphi\).
  4. Déterminer l’ensemble des vecteurs isotropes de \(\varphi\).
Corrigé
  1. La matrice de \(\varphi\) relativement à la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) est :

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -3 \\ -3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Le déterminant de \(A\) est non nul, donc \(\varphi\) est non dégénérée et son rang est \(4\). Le noyau est \(\{0\}\).

  1. La forme quadratique associée est \(\varphi(x) = 2x_1x_2 - 6x_1x_3 - 6x_2x_4 + 2x_3x_4\).

  2. Réduction de Gauss :

\[ \varphi(x) = \frac{1}{2}(x_1 + x_2 - 3x_3 - 3x_4)^2 - \frac{1}{2}(x_1 - x_2 + 3x_3 - 3x_4)^2 - 4(x_3 + x_4)^2 + 4(x_3 - x_4)^2. \]

La signature est \((2, 2)\). Une base \(\varphi\)-orthogonale est \((u_1, u_2, u_3, u_4)\) avec :

\[ u_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right), u_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right), u_3 = (1, 2, -1, 0), u_4 = (2, -2, 2, -1). \]

  1. L’ensemble des vecteurs isotropes est donné par \(X^2 + T^2 = Y^2 + Z^2\) pour \(U = (X, Y, Z, T)\).

Exercice 4

Soit l’application \(\varphi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) définie par :

\[ \varphi(x) = 16x_1^2 - 16x_2^2 + 5x_3^2 - 16x_1x_3 + 16x_2x_3 + 2x_3x_4, \forall x \in \mathbb{R}^4. \]

  1. Vérifier que \(\varphi\) est une forme quadratique. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) et la forme polaire associée.
  2. Donner une réduction de Gauss, en précisant une base orthogonale ainsi que le rang et la signature de \(\varphi\).
  3. Déterminer l’ensemble des vecteurs isotropes.
  4. Trouver l’orthogonal de \(F = \text{vec}\{e_1, e_2 + 2e_3\}\).
Corrigé
  1. La matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) est :

\[ \begin{pmatrix} 16 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & -16 & 8 & 0 \\ -8 & 8 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

La forme polaire associée est \(\varphi(x, y) = 16x_1y_1 - 16x_2y_2 + 5x_3y_3 - 8x_1y_3 - 8x_3y_1 + 8x_2y_3 + 8x_3y_2 + x_3y_4 + x_4y_3\).

  1. Réduction de Gauss :

\[ \varphi(x) = 16\left(x_1 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 - 16\left(x_2 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 + 5\left(x_3 + \frac{1}{5}x_4\right)^2 - \frac{1}{5}x_4^2. \]

Le rang est \(4\) et la signature est \((2, 2)\). Une base orthogonale pour \(\varphi\) est \((u_1, u_2, u_3, u_4)\) avec :

\[ u_1 = (4x_1 - 2x_3), u_2 = (4x_2 - 2x_3), u_3 = (\sqrt{2}x_3 + \frac{1}{\sqrt{5}}x_4), u_4 = (\frac{1}{\sqrt{5}}x_4). \]

  1. L’ensemble des vecteurs isotropes est donné par \(X^2 + Z^2 = Y^2 + T^2\).

  2. L’orthogonal de \(F = \text{vec}\{e_1, e_2 + 2e_3\}\) est \(\text{vec}\{(1, 0, 2, -10), (0, 1, 0, 0)\}\).

Exercice 5

Soit \(\varphi\) la forme quadratique de \(\mathbb{R}^3\) définie par :

\[ \varphi(x, y, z) = x^2 - 2yz - xz. \]

  1. Déterminer le rang et la signature de \(\varphi\). Trouver une base de \(\mathbb{R}^3\) orthogonale pour \(\varphi\).
  2. Pour chaque réel \(t\), on note \((P_t)\) le plan d’équation \(3x + 2y + tz = 0\). Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(P_t\) contient un vecteur isotrope non nul, puis celles pour lesquelles la restriction de \(\varphi\) à \(P_t\) est dégénérée.
Corrigé
  1. Décomposition de Gauss :

\[ \varphi(x, y, z) = \left(x - \frac{1}{2}z\right)^2 - \left(2y + \frac{1}{2}z\right)^2 + (2y)^2. \]

La signature est \((2, 1)\) et le rang est \(3\). Une base orthogonale pour \(\varphi\) est \((u_1, u_2, u_3)\) avec :

\[ u_1 = (x - \frac{1}{2}z), u_2 = (2y + \frac{1}{2}z), u_3 = (2y). \]

  1. Pour chaque réel \(t\), on note \((P_t)\) le plan d’équation \(3x + 2y + tz = 0\). Une base de \((P_t)\) est \((−2, 3, 0)\) et \((−t, 0, 3)\). Un vecteur \(u \in P_t\) implique qu’il existe deux scalaires non nuls \(\lambda\), \(\mu\) tels que :

\[ u = (−2\lambda− \mu t, 3\lambda, 3\mu). \]

Le vecteur \(u\) est un vecteur isotrope pour \(\varphi\) si et seulement si :

\[ \varphi(u) = 0 \Rightarrow 4\lambda^2 + (4t− 12)\lambda\mu + (t^2 + 3t)\mu^2 = 0. \]

Discussion :

  • Si \(t - 1 > 0\), alors la forme quadratique en \(\lambda\) et \(\mu\) est la somme de deux carrés et n’est jamais nulle. Donc, il n’y a pas de vecteurs isotropes non nuls.

  • Si \(t - 1 = 0\), alors la forme quadratique en \(\lambda\) et \(\mu\) est de signature \((1, 0)\) et donc de rang \(1\). Il existe un vecteur qui engendre le noyau et donc isotrope. Le noyau est donné par \(\lambda = \mu\) et \(u = 3\lambda(-1, 1, 1)\).

  • Si \(t - 1 < 0\), alors la forme quadratique en \(\lambda\) et \(\mu\) admet au moins une solution. La restriction de la forme quadratique au plan \(P_t\) est dégénérée si et seulement si le déterminant de la matrice associée est nul, soit \(t = 1\).

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